Carnot teoremi (termodinamik)

1824 yılında Nicolas Léonard Sadi Carnot tarafından geliştirilen Carnot teoremi, aynı zamanda Carnot kuralı olarak da adlandırılır, termodinamik sistemlerde elde edilebilir maksimum verimin sınırlarını belirleyen bir ilkedir.

Carnot teoremi, aynı iki termal rezervuar arasında çalışan tüm ısı motorlarının, aynı rezervuarlar arasında çalışan tersinir, içerisinde herhangi bir idealsizlik barındırmayan (açığa çıkan entropi 0), bir ısı makinesinden daha yüksek verimliliğe sahip olamayacağını belirtir. Bu teoremin doğal sonucu, bir çift ısı deposu arasında çalışan her tersine çevrilebilir ısı motorunun, kullanılan çalışma maddesine veya işlem detaylarına bakılmaksızın eşit derecede verimli olmasıdır. Bir Carnot ısı motoru aynı zamanda bir tersinir motor olduğundan, tüm tersinir ısı motorlarının verimi, yalnızca sıcak ve soğuk rezervuarlarının sıcaklıklarına bağlı olan Carnot ısı motorunun verimi olarak belirlenir.

Sıcaklığı T_C olarak ifade edilen soğuk ve sıcaklığı T_H olarak ifade edilen sıcak rezervuarlar arasında çalışan bir ısı motorunun teorik olarak maksimum verimi (yani, Carnot ısı motoru verimliliği) aşağıdaki oranla ifade edilebilir.

$\eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},$

T_C ve T_H sembolleri sırasıyla soğuk ve sıcak rezervuarların Kelvin ölçeğinde mutlak sıcaklıkları ve $\eta$ sembolü ısı motoru döngüsünün verimlilik oranını temsil eder. Ayrıca, $\eta$, verim oranı, bir ısı motoru döngüsü için sistemin dışarı verdiği ısının sisteme verilen net işe göre oranına eşittir.

$\eta$_max değerinin 0'dan büyük olması için gereken yegane şart termal rezervuarlar arasında bir sıcaklık farkının mevcut olmasıdır. Bu bilgiyle beraber, $\eta$_max, tersinir olsun veya olmasın, var olan tüm termodinamik sistemlerin verimleri için üst sınır olduğundan dolayı, bir sistemin istenen fonksiyonu yerine getirmesi için termal rezervuarlar arasında bir sıcaklık farkı bulunması gerektiği sonucuna varılır.

Carnot teoremi, termodinamiğin ikinci yasasının bir sonucudur.

İspat

Carnot teoremi özünde şunu ifade eder:

1)İki tane farklı sıcaklıktaki termal rezervuar arasında çalışan ve bir termal döngü içerisindeki hiçbir ısı motoru tersinir bir motordan daha verimli olamaz.

2) Aynı rezervuarlar arasında çalışan iki farklı tersinir motorun verimleri aynıdır. Yandaki şemada sabit T₁ ve T₂ sıcaklıklarında (T₁ > T₂) iki termal rezervuar verilmiştir. Bu rezervuarlar arasında çalışan tersinir bir R motoru ve tersinir olmayan bir I motoru vardır.

I motoru sıcak rezervuardan Q₁ ısısını alıp Q₂ ısısını soğuk rezervuara veren ve iş üreten bir motordur. Bu motor için enerji dengesi aşağıdaki gibidir.

$W_{1}=Q_{1}-Q_{2}$

Tersinir bir motor olan Rnin enerji dengesi ise şöyledir.

$W_{1}'=Q_{1}'-Q_{2}'$

İspat için ki motorun ürettiği işler eşit olduğu varsayılmıştır. Yani, motorların işleri arasındaki bağıntı şu şekildedir.

$W_{1}=W_{1}'\Longrightarrow Q_{1}-Q_{2}=Q_{1}'-Q_{2}'(i)$

Tersinemez motorun tersinir motordan daha verimli olduğu varsayımı yapılırsa;

$\eta _{I}>\eta _{R}$

Bu durumda;

$W_{1}/Q_{1}>W_{1}'/Q_{1}'(ii)$

Denklem (i)'deki iş eşitliğine ve denklem (ii)'ye bakıldığı zaman şu sonuca varılabilir: $Q_{1}'>Q_{1}$

Isılar arasındaki ortaya çıkan bağıntının doğal sonucu olarak $Q_{2}'>Q_{2}(iii)$ bağıntısı elde edilir.

(ii) ve (iii) denklemlerine ve varsayımlara bakarak, daha verimli olan motor I aynı zamanda termal rezervuar olan ısı kaynağından daha az ısı enerjisi aldığı ve soğuk rezervuara daha az ısı verdiği çıkarımı yapılabilir. Bu çıkarımın aldığı temel, iki motorun da eşit iş ürettiğidir.

Tersinir motorun bir ısı pompası olarak çalıştığı da düşünülebilir, çünkü motor tersinirdir, bu mümkündür ve tersinmez motor tarafından geliştirilen iş yukarıdaki şekilde sağ tarafta gösterildiği gibi pompayı çalıştırmak için kullanılabilir. Tersinir ısı motoru için ısı ve iş transferinin büyüklüğü aynı kalır, ancak ısı pompası olarak çalıştığında yönleri tersine döner.

I ve R motorları bütünleşik bir şekilde tek bir sistem olarak birleştirildiğinde ve sistemler arasındaki iş transferinden ötürü iki sistemin işinin de eşit olduğu bilgisi hesaba katıldığında, Q₁'- Q₁'e eşit ısı enerjisi Q₂'- Q₂'nin herhangi bir dış etki olmadan düşük sıcaklıklı ısı deposundan yüksek sıcaklıklı depoya transferi olduğu sonucuna varılır. Herhangi bir dış etki olmaksızın soğuk rezervuardan sıcak rezervuara ısı transferi olması termodinamiğin ikinci yasasının Clasius ifadesini ihlal eder. Dolayısıyla;

$\eta _{I}>\eta _{R}$ varsayımı yanlış olmak zorundadır.

Bu nedenle, her ikisi de sabit sıcaklıktaki ısı rezervuarları arasında çalışıyorsa, tersinmez bir motorun verimi, tersinir motorunkinden daha büyük olamaz.

$\eta _{R}\geq \eta _{I}$ ifadesinin doğruluğu bu şekilde reductio ad absurdum (yanlışlığını varsayarak ve mantıksal olarak bu varsayımdan yanlış veya çelişkili bir ifade türeterek bir ifadeyi kanıtlama yöntem) ile ispat edilebilir.

Carnot'nun ikinci ifadesi de benzer bir metot izlenerek ispat edilebilir.

Hem I hem de R motorları tersinir olarak çalışmaktadır. Bu iki motorların veriminin farklı olduğu varsayıldığı zaman şu ifade açığa çıkar;

$\eta _{R}\neq \eta _{I}$

Daha yüksek verimliliğe sahip tersinir motorlardan birinin ısı motoru olarak çalıştırılacağı ve diğer daha az verimli olan tersinir motorun ısı pompası olarak çalıştırılacağı bir sistem tasarlandığında tıpkı 1. ifadenin doğruluğunu ispat ederken olduğu gibi termodinamiğin ikinci yasasının ihlali söz konusudur.

Dolayısıyla bu çelişkiden şu ifade ortaya çıkarılabilir:

Tüm tersinir motorlar, iki farklı sıcaklıktaki termal rezervuar arasında çalışırken aynı verime sahip olmalıdır.