İkinci dereceden denklemler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Katsayıların değişmesiyle denklemin grafiğinin değişimi (a = 1, b = 0, c = 0)

İkinci dereceden denklemler, derecesi 2 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir

ax^2+bx+c=0,\,

x değişken yani bilinmeyendir ve a, b katsayılar (a ≠ 0 şartıyla), c ise sabit sayıdır. Bu denklemler çarpanlara ayırma, kareye tamamlama ve diskriminant yöntemleri ile çözülürler.

Çözümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Çarpanlara ayırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu yöntem, denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa tercih edilir. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Örneğin

x^2-8x+12=0
denkleminde çarpımları 12, toplamları -8 olan sayılar bulunur. Bu sayılar -6 ve -2 dir. Denklem şu şekilde yeniden yazılır:
(x-6)(x-2)=0.
Buradan x=6 ve x=2 bulunur.

Kareye tamamlama ve diskriminant[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu yöntemi anlamak için aşağıdaki eşitliği bilmek gerekir,

x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2.\,\!

Denklemimiz şu şekildeydi

ax^2+bx+c=0 \,\!

x2'nin katsayısını 1 yapmak için denklemi a'ya bölelim (ilk başta a≠0 aldığımız için bu işlem yapılabilir)

x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!

ya da

x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.

Kareye tamamlamak için ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bu yüzden her iki tarafa gereken ifadeyi ekleyelim

x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,\!

şimdi sol taraf kare şeklinde yazılmaya hazır

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.\,\!

Şimdi sağ tarafın paydasını eşitleyelim

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

Her iki tarafın da karekökünü alalım. Karekökün özelliğinden dolayı ifade ± şeklinde çıkar

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.

x'i çekersek

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}. elde edilir.

Diskriminant[değiştir | kaynağı değiştir]

Dsikriminant için örnek durumlar
<0: x2+12
=0: −43x2+43x13
>0: 32x2+12x43
Ana madde: Diskriminant

Yukarıda bulunan ifadedeki b^2-4ac'ye denklemin diskriminantı ya da deltası denir. Diskriminant denklem hakkında fikir edinmemizi sağlar

\Delta = b^2 - 4ac.\,

Eğer,

\Delta>0 ise denklemin iki gerçek kökü vardır.
\Delta<0 ise gerçek kök yoktur, karmaşık kök vardır.
\Delta=0 ise tek bir gerçek kök denir, kimi zaman buna daburut da denir. (double root)

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]