Nyquist’i̇n kararlılık kriteri

Nyquist’in kararlılık kriteri, Bell Telefon Laborauarlarında çalışan İsveç kökenli Amerikan bir elektrik mühendisi olan Harry Nyquist Bell tarafından 1932 yılında keşfedilen, bir dinamik sistemin kararlılığını araştırmaya yarayan bir yönteme ‘’’Nyquist'in Kararlılık Şartları’’’ denir. Bu kriter Kararlılık teorisinde ve Kontrol teorisinde kullanılmaktadır. Bu metodu uygulayabilmek için yalnızca açık sistem fonksiyonunun Nyquist grafiğini bilmek gerektiğinden, kapalı yahut açık sistemin kutup ve sıfırları tam olarak bilinmese dahi bu yöntem uygulanabilir. Diğer bir ifadeyle bu yöntemin uygulanabilmesi için sistemin matematiksel modeli bilinmesine gerek yoktur; sistemin sadece frekans cevabı kullanılarak kararlılığına Nyquist metoduyla bakılabilir. Dolayısıyla sağ yarı düzlemde tekillik olan transfer fonksiyonlarına hatta rasyonel olmayan transfer fonksiyonlarına bu yöntem uygulanabilir. Üstelik bu yöntem çok giriş çıkışlı sistemler üzerinde kullanılacak şekilde genellenebilir.

Nyquist'in $G(s)={\frac {1}{s^{2}+s+1}}$ eğrisine karşılık gelen çizici.

Nyquist kriteri geribeslemeli sistemlerin tasarımı ve analizinde elektrik ve kontrol mühendisleri tarafında sıklıkla kullanılan bir yöntemdir. Bu kriter oldukça genel kullanımı olan bir kararlılık testi olmasına rağmen kullanım yalnızca doğrusal zamanda değişmeyen(LTI) sistemlerle sınırlıdır. Doğrusal olmayan sistemlerin kararlılığı Lyupanov kriteri, çember şartı gibi karmaşık yöntemlerle test edilir.

Açık çevirim transfer fonksiyonu $G(s)$, geribesleme transfer fonksiyonu $H(s)$ olan bir sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu ${\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$ olur. Sistemin kararlılığın belirleyen şey de $1+G(s)H(s)$ ifadesini sıfır yapan değerlerdir. Nyquist şartları frekans değiştikçe sistemin kararlılığının nasıl değiştiğini gösterir

Cauchy'nin Argüman Prensibi

Nyquist kriterleri kompleks analizdeki argüman prensibi üzerine kurulmuştur. Argüman prensibi şunu söyler:

Önbilgi: s-düzleminde bir yönü olan kapalı çizgiye kontür denir. $\Gamma _{s}$ ile gösterilir. Herhangi bir sürekli F(s)fonksiyonu s- düzlemindeki bir kontürü F(s)-düzleminde başka bir kontöre -$\Gamma _{F}(s)$- çevirecektir.

s-düzleminde çizili F(s)’in kutup ya da sıfırlarının üzerinden geçmeyen bir kontür, F(s)- düzleminde orijini $N=Z-P$ kere çevreler. Burada F(s)’in s-düzlemindeki kontürün içinde olan kutup sayısı P, sıfır sayısı Z dir. Örneğin F(s) = N(s)/D(s)’in bütün kökleri ve sıfırları kontürün içinde kalmışsa N(s) polinomunun kök sayısı Z’yi, D(s) polinomunun kök sayısı P’yi ifade eder.

Argüman Prensibinin Kararlığı Test İçin Kullanılması

Yukarıda kararlılığın frekansla değişimini araştıracağımızı söylemiştik. 1+G(s)H(s) ifadesinin sıfır olduğu an kararlılığın bittiği noktadır. Dolayısıyla 1+GH ifadesinin sıfırlarını (Z) araştırmalıyız. Bu ifadeyi 1+KN/D şekline yazabiliriz. O halde:

$1+G(s)H(s)=1+{\frac {KN(s)}{D(s)}}={\frac {D(s)+KN(s)}{D(s)}}$

$F(s)=D(s)+KN(s)/D(s)$

Sitemin kararlı olması için F(s) polinomunun sağ yarı-düzlemde sıfır yapan değer bulunmamalıdır. Bu yüzden kararlılığı test etmek için bütün sağ yarı-düzlemi kapsayan bir kontör çizip Z'nin sıfır olup olmadığına bakarız. D(s) polinomunun kontör içindeki kökleri P'yi verir. D(s) +KN(s)’in kökleri olan Z'yi araştırmaktayız. N'yi bulursak Z'yi bulabiliriz.