İyi-sıralı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte, bir S kümesinin boş olmayan her altkümesi için, en küçük bir eleman tanımlayan tam sıralara, S kümesi üzerinde tanımlı bir iyi-sıra denir. İyi-sıralılık özelliğine sahip bir S kümesi iyi sıralı bir kümedir.

Örneğin doğal sayıların normal bir sırası iyi sıralıdır fakat ne tam sayıların ne de pozitif reel sayıların normal bir sırası iyi sıralı değildir.

İyi sıralı bir S kümesinde sonsuz olarak azalan bir zincir bulunamaz, yani S kümesinde her i için a_{i+1}<a_i olacak bir (a_i) dizisi bulunamaz. Seçim aksiyomu kullanılarak bu özelliğin iyi sıralılık ilkesine denk olduğu gösterilebilir. Ayrıca bu özellik Zorn Lemma'sına da denktir.

İyi sıralı bir kümede, mevcut olabilecek en büyük eleman dışındaki her a elemanının belirli bir ardılı bulunur: a elemanından daha büyük olan tüm elemanların altkümesinin en küçük elemanı.

Bununla birlikte her elemanın bir öncel elemanı olmak zorunda değil. Örneğin doğal sayılar kümesinin iki kopyasını ele alalım ve bu kopyaların, ikinci kopyadaki her elemanın ilk kopyadaki her elemandan daha büyük olacak şekilde sıralı olduğunu varsayalım. Her kopyada normak sıralılık seçilirse her iki küme iyi sıralı bir kümedir ve \omega+\omega şeklinde gösterilir. Burada her elemanın bir ardıl elemanı bulunmasına karşın (yani en büyük bir eleman olmamasına karşın) öncel elemanı olmayan iki eleman bulunur: Birinci kopyanın sıfır sayısı (bu kümenin en küçük elemanı) ve ikinci kopyanın sıfır sayısı (ilk kopyanın her elemanı bu sayıdan daha küçüktür fakat alt kümede en büyük eleman yoktur).

Bir küme iyi sıralı ise verili bir önermenin bu kümenin tüm elemanları için doğru olduğunu göstermek için, sonluötesi tümevarım tekniği kullanılabilir. (Tam tümevarım bu tekniğin özel bir durumudur.) Seçim aksiyomuna denk olan iyi-sıralılık ilkesi her kümenin iyi sıralı bir küme yapılabileceğini ifade eder.