Polinom

3. dereceden bir polinomun grafiği:
f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)

Polinomlar özel tipte bazı fonksiyonlardır. Tek değişkenli n. dereceden bir polinomun genel şekli

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$

dir. Burada $a_{0},...,a_{n}$ katsayılardır ve Reel sayı olmak zorundadır. Değişkenin üssü olan n ise bir Doğal sayıdır. Polinomda + ile ayırdığımız $a_{0}$, $a_{1}x$,..., $a_{n}x^{n}$ şeklindeki değişken, katsayı ve üs bileşimine terim denir. Polinomdaki en büyük üssüye polinomun dercesi denir. Örnek:

| |}

• $P(x)=2x$ derP(X)=1

• $P(x)=3+5x^{4}+7x^{5}+x^{13}$ derP(x)=13

• $P(x)=7x^{4}-3x^{2}+14x-2$ derP(X)=4

n. dereceden bir polinomun en cok n kökü vardır (kök, polinomun değerini sıfır yapan sayıdır, yani P(a) = 0 koşulunu sağlayan a sayılarına P'nin kökleri denir). Bir a sayısı P(x) polinomunun bir köküyse, (x-a) terimi P(x)'in bir çarpanıdır.

Örneğin:

$P(x)=x^{2}-1$ olsun.

P(1) = 0 koşulu sağlandığından

$P(x)=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ eşitliği yazılabilir.

Bu polinomun kökleri -1 ve +1'dir. Cebirin Temel Teoremine göre her polinomun en az bir kökü vardır. Bu kök her zaman reel sayı olmayabilir, bazen kökler karmaşık sayılardan oluşabilir.

Örneğin :

$P(x)=x^{2}+x+1$

polinomunun (reel sayılarda) kökü yoktur, reel çarpanlara ayrılmaz. Bu polinomun kökleri sanal sayılar olarak bulunabilir.

$P(x)=ax^{2}+bx+c$

şeklinde bir polinomun kökleri

${\frac {(-b+(b^{2}-4ac)^{1/2})}{2a}}$ ve ${\frac {(-b-(b^{2}-4ac)^{1/2})}{2a}}$

formülleriyle verilir. Burada

$b^{2}-4ac<0$

ise polinomun gerçel kökü yok demektir. Bu durumda kökler sanaldır.

3. ve 4. derece polinomların koklerini veren karışık formüller vardır. 5. ve üstü derecelerdeki polinomların köklerini verebilecek bir formül yoktur. Yani, yalnızca 4 işlem ve üs, kök alma işlemlerini kullanan bir formülün var olamayacağı 19. yüzyılda Niels Henrik Abel tarafından ispatlanmıştır.

• der[P(x)] = m, der[Q(x)] = n olmak üzere,

m > n ise, der[P(x)+/- Q(x)] = m

m = n ise, der[P(x)+/- Q(x)] < m ya da der[P(x) ± Q(x)] = m'dir.

• der[P(x)] = m, der[Q(x)] = n olmak üzere,

der[P(x) . Q(x)] = m+n

der[P(x) / Q(x)] = m-n 'dir. --78.179.138.155 08:21, 30 Haziran 2010