Dörtyüzlüsel sayı

Ayrıt uzunluğu 5 birim olan piramit 35 küre içerir. Her katman ilk beş üçgensel sayıyı göstermektedir.

Üçgen piramidal sayı olarak da adlandırılan dörtyüzlü sayı üçgen tabanlı ve bir piramidi temsil eden biçimli sayıdır. n. dörtyüzlü sayı ilk n üçgensel sayının toplamına eşittir.

İlk dörtyüzlü sayıların bir bölümü şunlardır:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

n. dörtyüzlü sayı formülü 3. artan faktöriyelin 3. faktöriyele bölümü biçiminde gösterilir.

$T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}$

Dörtyüzlü sayılar Pascal üçgeninde soldan ve sağdan dördüncü olarak konumlanmışlardır. Bu sayılar bu yüzden binom katsayılarını oluştururlar.

$T_{n}={n+2 \choose 3}$

Dörtyüzlü sayılar istiflenmiş küreler biçiminde modellenebilmektedir. Örneğin, beşinci dörtyüzlü sayının (T₅ = 35) 35 bilardo topundan oluştuğu varsayılırsa bu topların 15'i en altta bulunan bilardo topu çerçevesinin içinde, 10'u hemen bunun üstünde, 6'sı bir üst düzeyde, 3'ü bunun hemen üstünde ve sonuncusu en üstte yer alacaktır.

A.J. Meyl 1878'de yalnızca üç dörtyüzlü sayının tam kare olduğunu kanıtlamıştır. Bunlar

T₁ = 1² = 1

T₂ = 2² = 4

T₄₈ = 140² = 19600

sayılarıdır.

Aynı zamanda kare piramidal sayı olan tek dörtyüzlü sayı 1'dir (Beukers, 1988). 1 ayrıca tam küp olan tek dörtyüzlü sayıdır.

Dörtyüzlü sayıların ilginç özelliklerinden bir diğeri bu sayıların bölmeye göre terslerinin sonsuz toplamının 3/2'ye eşit oluşudur. Bu toplam iç içe dizi yardımıyla hesaplanabilmektedir.

$\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{6 \over {n(n+1)(n+2)}}={3 \over 2}$

Taban uzunluğu 4 birim olan dörtyüzlü 4. üçgensel sayı olan tetractysin 3 boyutlu benzeri olarak görülebilir. Tetractys Pisagorcular tarafından kutsal kabul edilmiştir.

Dörtyüzlü sayıların son basamağı tek-çift-çift-çift kalıbını izlemektedir.

Dörtyüzlü sayılar T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁ eşitliğini de sağlamaktadır.

Hem üçgensel hem dörtyüzlü olan sayılar

$Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}$

binom katsayısı eşitliğini sağlamaktadırlar.

Bu sayılar aşağıda sıralanmıştır.

Dörtyüzlü₁ = Üçgen₁ = 1

Dörtyüzlü₃ = Üçgen₄ = 10

Dörtyüzlü₈ = Üçgen₁₅ = 120

Dörtyüzlü₂₀ = Üçgen₅₅ = 1540

Dörtyüzlü₃₄ = Üçgen₁₁₉ = 7140

Kaynakça

• Şablon:Kaynak viki

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Dörtyüzlü Sayı (MathWorld)
• Jim Delany, Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula, The Wolfram Demonstrations Project