Bileşke fonksiyon: Revizyonlar arasındaki fark

Vikipedi, özgür ansiklopedi
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
İçerik silindi İçerik eklendi
Sayfa içeriği '.' ile değiştirildi
Değişiklik özeti yok
1. satır: 1. satır:
{{düzenle|Mart 2007}}
.
{{uzman}}

Bileşke kuvvet, bir cisme uygulanan kuvvetlerin birleşimidir.

Eğer <math>f</math>, <math>X</math> kümesinden <math>Y</math> kümesine giden bir [[fonksiyon]]sa, <math>g</math> de <math>Y</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman <math>g\circ f</math> fonksiyonunu, her <math>x\in X</math> için,

::<math>(g\circ f)(x) = g(f(x))</math>

kuralıyla tanımlanan <math>X</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona <math>g</math> ve <math>f</math> fonksiyonlarının [[bileşkesi]] adı verilir. (İngilizcesi "composition").

Demek ki bileşke,

::<math>f: X\longrightarrow Y</math> ve <math>g: Y\longrightarrow Z</math>

fonksiyonlarından,

::<math>g\circ f: X\longrightarrow Z</math>

fonksiyonunu üretir.

'''Dikkat:''' <math>g\circ f</math> yazılımında <math>f</math> ve <math>g</math>'nin sıralamalarına dikkat edin!

'''İkinci Dikkat:''' <math>g</math> ve <math>f</math> fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için <math>f</math> fonksiyonunun [[varış kümesi]], <math>g</math> fonksiyonunun [[kalkış kümesi]]ne eşit olmalıdır.

Eğer <math>f</math>, <math>X</math> kümesinden <math>Y</math> kümesine, <math>g</math> de <math>Y</math> kümesinden <math>X</math> kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem <math>g\circ f : X \longrightarrow X</math> fonksiyonundan, hem de <math>f\circ g : Y \longrightarrow Y</math> fonksiyonundan söz edebiliriz.

Bileşke, <math>X</math>'ten <math>X</math>'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk<math>(X,\;X)</math> kümesi üzerine bir [[ikili işlem]]dir. [[Özdeşlik fonksiyonu]] Id<math>_X</math>, bu ikili işlemin sağdan ve soldan [[etkisiz eleman]]ıdır. Ayrıca Fonk<math>(X,\;X)</math> kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları [[eşleme]]ler, yani [[bijeksiyon]]lardır.

'''Örnek:''' <math>X=Y=Z=R</math> (gerçel sayılar kümesi) olsun. <math>f</math> fonksiyonu <math>f(x)=x^2</math> ve <math>g</math> fonksiyonu <math>g(x)=x+1</math> olarak tanımlansın. O zaman,

::<math>(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1) = (x+1)^2</math>

dir. Ama

::<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2) = x^2+1</math>

dir. Demek ki

::<math>f\circ g \neq g \circ f</math>,

yani bileşkenin [[değişme özelliği]] yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- [[birleşme özelliği]] vardır:

::<math>X,\,Y,\,Z,\,T</math> dört küme olsun.

::<math>f:X\longrightarrow Y</math>,

::<math>g:Y\longrightarrow Z</math>,

::<math>h:Z\longrightarrow T</math>

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz:

::<math>g\circ f: X \longrightarrow Z</math>,

::<math>h\circ(g\circ f): X \longrightarrow T</math>,

::<math>h\circ g: Y \longrightarrow T</math>,

::<math>(h\circ g)\circ f: X \longrightarrow T</math>.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

::<math>(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)</math>

eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. <math>X</math> kümesinden herhangi bir <math>x</math> elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu <math>x</math> elemanında değerlendirelim.

::<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ g)(f(x))= h(g(f(x)))</math>

ve

::<math>(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x))). </math>

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani

::<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ (g\circ f))(x)</math>.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani <math>(h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f)</math> eşitliği çıkar.

[[Kategori:Matematik]]


[[Kategori:Matematik]]

Sayfanın 18.00, 27 Mart 2009 tarihindeki hâli

Bileşke kuvvet, bir cisme uygulanan kuvvetlerin birleşimidir.

Eğer , kümesinden kümesine giden bir fonksiyonsa, de kümesinden kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman fonksiyonunu, her için,

kuralıyla tanımlanan kümesinden kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona ve fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir. (İngilizcesi "composition").

Demek ki bileşke,

ve

fonksiyonlarından,

fonksiyonunu üretir.

Dikkat: yazılımında ve 'nin sıralamalarına dikkat edin!

İkinci Dikkat: ve fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için fonksiyonunun varış kümesi, fonksiyonunun kalkış kümesine eşit olmalıdır.

Eğer , kümesinden kümesine, de kümesinden kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem fonksiyonundan, hem de fonksiyonundan söz edebiliriz.

Bileşke, 'ten 'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca Fonk kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Örnek: (gerçel sayılar kümesi) olsun. fonksiyonu ve fonksiyonu olarak tanımlansın. O zaman,

dir. Ama

dir. Demek ki

,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- birleşme özelliği vardır:

dört küme olsun.
,
,

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz:

,
,
,
.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. kümesinden herhangi bir elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu elemanında değerlendirelim.

ve

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani

.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani eşitliği çıkar.