Beklenen değer

Beklenen değer bir raslantı değişkeninin alabileceği bütün değerlerin, olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki ağırlık katsayıları verilen olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonlarıdır.

Tanım

Beklenen değer, beklenen değer işlemcisi E ile gösterilir. Raslantı değişkeninin sürekli veya kesikli olması durumuna göre beklenen değer şu şekilde hesaplanır.

$E[\mathrm {X} ]={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx,&\mathrm {X} :{\mbox{ surekli}}\\\sum _{i}x_{i}p(x_{i}),&\mathrm {X} :{\mbox{ kesikli}}\end{cases}}$

Beklenen değerin başka gösterimleri $m_{\mathrm {X} }$, $\mu _{1}$ ($\mu$ merkezi moment) ve $E(\mathrm {X} )$ olarak verilir. Yukarıdaki tanımda f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur, p(x) ise olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. E işlemcisi doğrusal bir işlemcidir. İki fonksiyon da normalize oldukları için sabit bir değerin beklenen değeri kendisine eşittir.

Özellikler

• $E[k]=k:k\in \mathbb {R}$
• $E[a\mathrm {X} +b]=aE[\mathrm {X} ]+b:a,b\in \mathbb {R}$

İspat

$E[a\mathrm {X} +b]\,$	$=\int _{-\infty }^{\infty }(ax+b)f(x)dx$
	$=a{\begin{matrix}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx} \\E[\mathrm {X} ]\end{matrix}}+b{\begin{matrix}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx} \\1\end{matrix}}$
	$=aE[\mathrm {X} ]+b\,$

• $E[a\mathrm {X} +bY+c]=aE[\mathrm {X} ]+bE[Y]+c:a,b,c\in \mathbb {R}$
• $E[\mathrm {X} Y]\neq E[\mathrm {X} ]E[Y]$ (Eğer X ve Y ilişkisiz ise $E[\mathrm {X} Y]=E[\mathrm {X} ]E[Y]$)