Hamilton optiği

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

Hamilton Prensibi

Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin $\left(q_{1}\left(\sigma \right),\cdots ,q_{N}\left(\sigma \right)\right)$, σ_A ve σ_B parametreleriyle belirtilen iki durum arasında N genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,

${\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma$ olmak üzere,

$\delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0$

$\delta S=0\$ koşulu ancak ve ancak $k=1,\cdots ,N$ iken Euler-Lagrange denklemleri

${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0$

şartını sağladığında geçerlidir.

Momentum,

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

olarak tanımlandığında, ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma$ iken Euler-Lagrange denklemleri,

${\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}$

şeklinde yeniden yazılabilir.

Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),

$H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L$

Lagrange’ın parametre σ’ya, konumlara $q_{i}\$ ve konumların σ’ya göre türevlerine ${\dot {q}}_{i}$ nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi t zamanı genel bir parametre σ ile değiştirilmiştir.Bu diferansiyel denklemler k=1,\cdots ,N iken Hamilton denklemleridir.

${\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,$

Hamilton denklemleri birinci dereceden diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.

Lagrange optiği

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. [3] [4] 3D öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık öklid uzayının koordinatlarıdır.

Fermat İlkesi

Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki A ve B arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm(büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında

$n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\$

yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu ${\mathbf {A} }=\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)\$ noktasından başlayarak

${\mathbf {B} }=\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)\$

noktasında bitmek üzere

$s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)\$ ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar

$q_{k}\$ nın rolünü $x_{1}\$ ve $x_{2}\$ coordinatları alırken, $x_{3}\$ ise $\sigma \$ parametresinin rolünü alır yani parametre σ =x3 ve N=2. Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem [2] ds,

$ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}$ tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,

$\delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0$

olarak yazılabilir. ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$ olmak üzere optik Lagrange 

$L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}$

şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:

$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}$

burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.

Euler-Lagrange denklemleri

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine σ = x3 ve N = 2 parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,

${\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0$

Sonucunu verir, burada k=(1,2), L optik Lagrange ve

${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$ olarak tanımlanmıştır.

Optik momentum

Optik momentum

Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}$

ve optik Lagrangian

$L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}$ tanımından yola çıkılarak bu ifade

$p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}$ olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,

${\mathbf {p} }=n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)$

$=\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n{\mathbf {\hat {e}} }$

burada $\mathbf {\hat {e}}$ bir birim vektördür ve açılar α1, α2 ve α3, p'nin sırasıyla x1, x2 ve x3 eksenlerine şekil “optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir

$\|{\mathbf {p} }\|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n$

burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör p, ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve p vektörü ışık rayına teğettir. Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. ${\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1$ olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,

$L=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}$

Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,

$S=\int L\,dx_{3}=\int {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }.$

Hamilton denklemleri

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi N=2 için yukarıda karşılığı verilmiş $x_{1}\left(x_{3}\right)$ ve $x_{2}\left(x_{3}\right)$ denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,

$H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L.$

Bu ifadeyi Lagrange için

$L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}$ ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,

$H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}$

Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,

${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}$

şeklinde yazılabilir. Burada ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$ and ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}$ olarak alınmıştır.

Uygulamalar

Işığın x3 ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, $x_{1}\$ ve $x_{2}\$ koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar $q_{k}\$ rolünü alırken, $x_{3}\$ σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre σ =x3 ve N=2.

Kırılma ve yansıma

Kırılma

Eğer x1x2 düzlemi, aşağıda nA ve altında nB kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir $n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\mbox{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\mbox{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}$ ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,

${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0$

Ve böylece ${\dot {p}}_{k}=0$ ya da $p_{k}={\text{Constant}}\$ çıkarımları yapılabilir. Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde (x1x2 düzleminin altında) pA momentumuna, ve kırılma sonrasında (x1x2 düzlemi üzerinde) pB momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce x3 ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile θA açısı ve kırılma sonrası x3 ekseni ile θB açısı yapar. Momentumun p1 ve p2 bileşenleri sabit olduğu için yalnızca p3 p3A'dan p3B'ye değişir. Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma

$d=\|{\mathbf {p} }_{A}\|\sin \theta _{A}=\|{\mathbf {p} }_{B}\|\sin \theta _{B}$.

$\|{\mathbf {p} }_{A}\|=n_{A}$ ve

$\|{\mathbf {p} }_{B}\|=n_{B}$ olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir

$n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}\$

bu ifade Snell kırılma yasasını verir.

“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali x3 ekseninin ve

${\mathbf {v} }={\mathbf {p} }_{A}-{\mathbf {p} }_{B}$ vektörünün yönündedir. Daha sonra

${\mathbf {n} }={\mathbf {v} }/\|{\mathbf {v} }\|$birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir.

${\mathbf {n} }={\frac {{\mathbf {p} }_{A}-{\mathbf {p} }_{B}}{\|{\mathbf {p} }_{A}-{\mathbf {p} }_{B}\|}}={\frac {n_{A}{\mathbf {i} }-n_{B}{\mathbf {r} }}{\|n_{A}{\mathbf {i} }-n_{B}{\mathbf {r} }\|}}$

burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın (${\mathbf {p} }_{B}$ yönünde) gelen ışın (${\mathbf {p} }_{A}$ yönünde) ve yüzey normali ${\mathbf {n} }\$ ile aynı düzlemdedir. Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an nA = nB eşitliği, θA = θB ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, i ve r, sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak nA = nB ile verilir

${\mathbf {n} }={\frac {{\mathbf {i} }-{\mathbf {r} }}{\|{\mathbf {i} }-{\mathbf {r} }\|}}$

Vektör formunda, eğer i, gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve n, yüzeyin normali ise, kırılan r ışınının yönü şöyledir: [3]

${\mathbf {r} }={\frac {n_{A}}{n_{B}}}{\mathbf {i} }+\left(-\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right){\mathbf {n} }$

burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.

$\Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right)^{2}\right)$

Eğer i · n <0 ise hesaplamalarda -n kullanılmalıdır. Δ <0 olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,

${\mathbf {r} }={\mathbf {i} }-2\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right){\mathbf {n} }.$

Işınlar ve Dalga cepheleri

Dosya:Hamiltonian Optics-Rays and Wavefronts.png

Işınlar ve dalga cepheleri

Optik yol uzunluğunun tanımından $S=\int L\,dx_{3}.k=1,2$ iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak, ${\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}$ İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu $\partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}$, yukarıda kanıtlanan $H=-p_{3}\$ eşitliğini ve

${\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}$ denklemini momentum p nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:

${\mathbf {p} }=\nabla S.$

P, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, S = Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum p gösterilmiştir. Vektör alanı ${\ mathbf{p}}=\ nablaS$ korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak

$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d{\mathbf {s} }=S({\mathbf {B} })-S({\mathbf {A} })$

elde edilir ve A ve B noktaları arasındaki C eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu S, sadece A ve B uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle A = B olur böylece $S=\oint \nabla S\cdot d{\mathbf {s} }=0$ sonucuna ulaşılır.

Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir ABCDA yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,

$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }+\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }+\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }+\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }{\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=0$

Eğri doğru parçası AB için optik momentum p, AB eğrisi boyunca bir ds yer değiştirmesine diktir yani ${\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=0.$ Aynı şey CD doğru parçası için de geçerlidir. BC doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ds ile aynı yöndedir ve ${\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=nds.$ DA doğru parçası için, optik momentum p, yer değiştirme ds ile zıt yönde ve ${\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=-n\,ds.$

Optik yol uzunluğu

Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik ${\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=n\,ds$ olur. Bunlar hesaba katıldığında $\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds$ ya da $S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }$ sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca B ve C noktaları arasındaki optik yol uzunluğu SBC, A ve D noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu SAD ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

Faz uzayı

2D faz uzayı

Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada x2=0 p2=0 olduğundan ışık x1x3 düzlemi doğrultusunda artan x3 değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, $p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}$ ve p2=0 olduğundan ışınının yönü momentumun p1 bileşeni tarafından tamamen tanımlanır ${\mathbf {p} }=(p_{1},p_{3}).$ P1 verilirse, p3 hesaplanabilir (kırılma indisi n değeri verilirse) ve bu nedenle p1, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi \|{\mathbf {p}}\|=n. İfadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın rC x1 eksenini, xB konumunda ortalayan yarıçapı n olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum PC ile xB koordinatından kesmektedir. XB Koordinatını ve momentum pC'nin yatay koordinatını p1C, ışını rC'yi, x1 eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi x1p1 uzayında bir nokta rC = (xB, p1C) ile tanımlanabilir. Uzay x1p1'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın rD, alttaki faz uzayında bir nokta rD ile temsil edilir. rC ve rD Işınları arasında bulunan xB koordinatında x1 ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında rC ve rD noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, rA ve rB ışınları arasında bulunan xA koordinatında x1 eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında rA ve rB noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, xl ekseni xL ve xR arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir R hacmi ile gösterilir. R hacminin ∂R sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, x1 ekseni koordinat xA'da, ışınlar rA ve rB, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

Üç boyutlu geometride momentum

${\mathbf {p} }=(p_{1},p_{2},p_{3})$

with $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}.$ P1 ve p2 verilirse, p3 hesaplanabilir (kırılma indisinin n değeri verilir) ve bu nedenle p1 ve p2 ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. X3 ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra x1x2 düzleminde bir nokta (x1, x2) ve bir yönde (p1, p2) tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı x1x2p1p2'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

Etendue korunması

hacmin varyasyonu

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), A alanı ile sınırlanmış bir hacim V'yi gösterir. Zamanla, A sınırı hareket ederse, V hacmi değişebilir. Bilhassa,sonsuz küçük alan birimi dA dışa doğru işaret eden bir birim normali nı doğrultusunda v hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar: :$dV=dA({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })dt.$

Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam V hacminin zaman içerisinde değişimi:

${\frac {dV}{dt}}=\int _{A}{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\,dA=\int _{V}\nabla \cdot {\mathbf {v} }\,dV.$

En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim V'nin sınır A'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, v, V noktalarının hangi hareket ettiği hızdır. Optikte $x_{3}\$ zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını ${\mathbf {v} }=({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})\$ “hızı” ile ilerleyen bir nokta $(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\$ ile tanımlanır. Burada nokta $x_{3}\$’e göre türevi temsil eder.

$x_{1}\$ koordinatında $dx_{1}\,x_{2}\$ koordinatında $dx_{2}\,p_{1}\$ koordinatında $dp_{1}\$ ve $p_{2}\$ koordinatında $dp_{2}\$ üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında $dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}\$ hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim V yi kaplar,

${\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot {\mathbf {v} }\,dV$

Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,

$\nabla \cdot {\mathbf {v} }={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0$

sonucuna varılır. Yani, $dV/dx_{3}=0\$ ve $dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}\$

bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir.

Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, x3 yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.

Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseltir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte 2N boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, N, molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır. [3]

Etendue korunması

Görüntüleme ve görüntülemesiz optik

Şekil "etendue korunumu" solda, x2 = 0 ve p2 = 0 olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan x1x3 yönünde ilerler. Noktanın x1 = xl noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şekilin sağ alt köşesi) faz uzayında rA ve rB noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları rA ve rB arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge RI ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında rA ve rB noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları rA ve rB arasında bulunur (sağ üst köşe şekli ). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge RO ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki RI tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki RO tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir. Görüntülenen optikte giriş diyaframını x1 = xl'de geçen tüm ışık ışını x1 = x0 xI = m xO olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme m ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, RO'da dikey çizgi rA rB'nin RO'da dikey çizgi rA rB'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu.Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, RI'nın kenar ışınları ∂RI'yi RO'nun kenar ışınlarına ∂RO dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

Genelleştirmeler

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, $x_{1}\$ ve $x_{2}\$ koordinatları $q_{k}\$ genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, x3 parametre σ rolünü üstlenir, yani parametre σ = x3 ve N = 2 dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

Genel ışın parametrizasyonu

Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu $s=\left(x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right),x_{3}\left(\sigma \right)\right)\$ olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, $x_{1}\,x_{2}\$ ve $x_{3}\$ koordinatları, $q_{k}\$ genelleştirilmiş koordinatlarının N = 3 olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,

$\delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma$

$=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0$

ve şimdi $L=nds/d\sigma \$ ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma$ ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,

${\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0$

burada k=1,2,3 ve L optik Lagrange’dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}$

ve Hamilton denklemlerinde P, yukarıda tanımlanan ve N = 3 için verilen

$x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right)$ ve

$x_{3}\left(\sigma \right)$ fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır

$P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L$

Ve k = 1,2,3 iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,

${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}$

burada ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma$ ve ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma$ olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,

$L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right).$

ve açıkça parametre σ'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen σ üzerine L'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.

Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,

$p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}$

burada ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma$ ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,

$L=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}$

L için bu ifadeyi Hamilton P ifadesi ile karşılaştırıldığında, $P=0\$ sonucuna ulaşılır. $p_{k}\$’nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,

$p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0$

Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir:

$P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0k=1,2,3$ ve $P=0\$ ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.

Genelleştirilmiş koordinatlar

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar $\left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)\$ ve genelleştirilmiş momenta $\left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)\$ ve Hamilton işlevi P açısından yazmak mümkündür:

${\frac {dq_{1}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}$

${\frac {dq_{2}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}$

${\frac {dq_{3}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}$

$P=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0$

burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:

$\mathbf {p} =u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}$

$=u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}$

$=u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}$

ve $\mathbf {\hat {e}} _{1}$, $\mathbf {\hat {e}} _{2}$ ve $\mathbf {\hat {e}} _{3}$ birim vektörlerdir.

Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Orthonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir. Bu durumda optik momentum $\mathbf {p}$ ile birim vektör $\mathbf {\hat {e}} _{k}$ arasındaki açının kosinüsü $u_{k}a_{k}/n\$ ifadesine eşittir.

Ayrıca bkz.

Hamilton mekaniği

Diferansiyel Kalkülüs

Kaynaklar

H. A. Buchdahl, An Introduction to Hamiltonian Optics, Dover Publications, 1993, ISBN 978-0486675978.

Vasudevan Lakshminarayanan et al., Lagrangian Optics, Springer Netherlands, 2011, ISBN 978-0792375821.

Chaves, Julio (2015). Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-1482206739.

Roland Winston et al., Nonimaging Optics, Academic Press, 2004, ISBN 978-0127597515.

Dietrich Marcuse, Light Transmission Optics, Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1972, ISBN 978-0894643057.

Rudolf Karl Luneburg,Mathematical Theory of Optics, University of California Press, Berkeley, CA, 1964, p. 90.