Yüksek-derece bileşik sayı

Yüksek-derece bileşik sayı (İngilizce: highly composite number), kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılardan daha fazla bölene sahip olan bir pozitif tam sayıdır.

Eğer d(n) bir n pozitif tam sayısının bölen sayısını gösteriyorsa, bir N pozitif tam sayısı, tüm n < N değerleri için d(N) > d(n) koşulunu sağlıyorsa yüksek-derece bileşiktir. Örneğin, 6 yüksek-derece bileşik bir sayıdır çünkü d(6) = 4'tür ve n = 1,2,3,4,5 için d(n) = 1,2,2,3,2 değerleri elde edilir; bunların hepsi 4'ten küçüktür. İlgili bir kavram da, kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılar kadar veya onlardan daha fazla bölene sahip pozitif tam sayıları ifade eden büyük-ölçüde bileşik sayıdır (İngilizce: largely composite number). İlk iki yüksek-derece bileşik sayı (1 ve 2) aslında bileşik sayı olmadığından isim biraz yanıltıcı olabilir; ancak sonraki tüm terimler bileşik sayıdır.

Srinivasa Ramanujan, 1915 yılında yüksek-derece bileşik sayılar üzerine bir makale yazmıştır.^[1] Matematikçi Jean-Pierre Kahane, Platon'un bir şehirdeki ideal vatandaş sayısı olarak kasıtlı biçimde böyle bir sayıyı, 5040 (= 7!) sayısını seçmesinden dolayı yüksek-derecede bileşik sayıları biliyor olması gerektiğini öne sürmüştür.^[2] Ayrıca, Vardoulakis ve Pugh'un makalesi de 5040 sayısıyla ilgili benzer bir incelemeyi derinleştirmektedir.^[3]

Örnekler

İlk 41 yüksek-derecede bileşik sayı aşağıdaki tabloda listelenmiştir (OEIS'de A002182 dizisi). Bölenlerin sayısı d(n) etiketli sütunda verilmiştir. Yıldız işaretleri üstün yüksek-derece bileşik sayıları gösterir.

Sıra	HCN n	Asal çarpanlara ayırma	Asal üsler	Asal çarpanların sayısı	d(n)	Primöriyel çarpanlara ayırma
1	1			0	1
2	2*	$2$	1	1	2	$2$
3	4	$2^{2}$	2	2	3	$2^{2}$
4	6*	$2\cdot 3$	1,1	2	4	$6$
5	12*	$2^{2}\cdot 3$	2,1	3	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	3,1	4	8	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	2,2	4	9	$6^{2}$
8	48	$2^{4}\cdot 3$	4,1	5	10	$2^{3}\cdot 6$
9	60*	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	2,1,1	4	12	$2\cdot 30$
10	120*	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	3,1,1	5	16	$2^{2}\cdot 30$
11	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	2,2,1	5	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	4,1,1	6	20	$2^{3}\cdot 30$
13	360*	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	3,2,1	6	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	4,2,1	7	30	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	3,1,1,1	6	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	2,2,1,1	6	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	4,1,1,1	7	40	$2^{3}\cdot 210$
18	2520*	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	3,2,1,1	7	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040*	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	4,2,1,1	8	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	3,3,1,1	8	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	5,2,1,1	9	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	4,3,1,1	9	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	6,2,1,1	10	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	4,2,2,1	9	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,2,1,1,1	8	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	4,4,1,1	10	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	5,2,2,1	10	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440*	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,2,1,1,1	9	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,3,1,1,1	9	128	$6^{2}\cdot 2310$
30	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,2,1,1,1	10	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,3,1,1,1	10	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,2,1,1,1	11	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	4,2,2,1,1	10	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,3,1,1,1	11	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,4,1,1,1	11	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	5,2,2,1,1	11	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,3,1,1,1	12	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720*	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	4,2,1,1,1,1	10	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$
39	1081080	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	3,3,1,1,1,1	10	256	$6^{2}\cdot 30030$
40	1441440*	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	5,2,1,1,1,1	11	288	$2^{3}\cdot 6\cdot 30030$
41	2162160	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	4,3,1,1,1,1	11	320	$2\cdot 6^{2}\cdot 30030$

İlk 20 yüksek-derecede bileşik sayının bölenleri aşağıda gösterilmiştir.

n	d(n)	n sayısının bölenleri
1	1	1
2	2	1, 2
4	3	1, 2, 4
6	4	1, 2, 3, 6
12	6	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	8	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36	9	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48	10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120	16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180	18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240	20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360	24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720	30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840	32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840
1260	36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 28, 30, 35, 36, 42, 45, 60, 63, 70, 84, 90, 105, 126, 140, 180, 210, 252, 315, 420, 630, 1260
1680	40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 48, 56, 60, 70, 80, 84, 105, 112, 120, 140, 168, 210, 240, 280, 336, 420, 560, 840, 1680
2520	48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 120, 126, 140, 168, 180, 210, 252, 280, 315, 360, 420, 504, 630, 840, 1260, 2520
5040	60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040
7560	64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 27, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 54, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 108, 120, 126, 135, 140, 168, 180, 189, 210, 216, 252, 270, 280, 315, 360, 378, 420, 504, 540, 630, 756, 840, 945, 1080, 1260, 1512, 1890, 2520, 3780, 7560

Aşağıdaki tablo, 10080'i 36 farklı şekilde iki sayının çarpımı olarak yazarak tüm 72 bölenini göstermektedir.

Yüksek-derece bileşik sayı: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Not: Kalın yazılmış sayılar da kendileri birer yüksek-derece bileşik sayıdır. Sadece yirminci yüksek-derece bileşik sayı olan 7560 (= 3 × 2520) eksiktir. 10080, bir 7-pürüzsüz sayıdır (7-smooth number) (OEIS'de A002473 dizisi).

15.000'inci yüksek-derece bileşik sayı Achim Flammenkamp'ın web sitesinde bulunabilir. Bu sayı 230 asal sayının çarpımıdır:

a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},

Burada $a_{n}$ , $n$ 'inci ardışık asal sayıdır ve atlanan tüm terimler (a₂₂'den a₂₂₈'e kadar) üssü bire eşit olan çarpanlardır (yani sayı $2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451$ şeklindedir). Daha kısa bir ifadeyle, yedi farklı primöriyelin çarpımıdır:

b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},

Burada $b_{n}$ , primöriyel $a_{0}a_{1}\cdots a_{n}$ değeridir.^[4]

Asal çarpanlara ayırma

Kabaca söylemek gerekirse, bir sayının yüksek-derece bileşik olması için mümkün olduğunca küçük asal çarpanlara sahip olması, ancak aynı asal çarpanın çok fazla tekrar etmemesi gerekir. Aritmetiğin temel teoremine göre, her n pozitif tam sayısının benzersiz bir asal çarpanlara ayırma biçimi vardır:

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}

Burada $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ asal sayılardır ve $c_{i}$ üsleri pozitif tam sayılardır. n sayısının herhangi bir çarpanı, her bir asal sayı için aynı veya daha az katlılığa (multiplicity) sahip olmalıdır:

p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k

Böylece n sayısının bölen sayısı şöyledir:

d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).

Dolayısıyla, yüksek-derece bileşik bir n sayısı için şu koşullar geçerlidir:

Verilen k adet asal sayı p_i, tam olarak ilk k asal sayı (2, 3, 5, ...) olmalıdır; aksi takdirde, verilen asallardan birini daha küçük bir asalla değiştirebilir ve böylece n'den daha küçük ama aynı sayıda bölene sahip bir sayı elde edebilirdik (örneğin 10 = 2 × 5, 6 = 2 × 3 ile değiştirilebilir; her ikisinin de dört böleni vardır);
Üslerin dizisi artmayan (non-increasing) olmalıdır, yani $c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}$ ; aksi takdirde, iki üssün yerini değiştirerek yine n'den daha küçük ve aynı sayıda bölene sahip bir sayı elde ederdik (örneğin 18 = 2¹ × 3² sayısı, 12 = 2² × 3¹ ile değiştirilebilir; her ikisinin de altı böleni vardır).

Ayrıca, iki özel durum olan n = 4 ve n = 36 haricinde, son üs c_k 1'e eşit olmalıdır. Bu, 1, 4 ve 36'nın tam kare olan tek yüksek-derece bileşik sayılar olduğu anlamına gelir. Üsler dizisinin artmayan olduğunu söylemek, yüksek-derece bileşik bir sayının primöriyellerin bir çarpımı olması veya alternatif olarak, kendi asal imzası (prime signature) için en küçük sayı olması ile eşdeğerdir. Yukarıda açıklanan koşullar gerekli olsa da, bir sayının yüksek-derece bileşik olması için yeterli değildir. Örneğin, 96 = 2⁵ × 3 sayısı yukarıdaki koşulları sağlar ve 12 böleni vardır, ancak kendisinden daha küçük bir sayı (60) aynı sayıda bölene sahip olduğundan yüksek-derece bileşik değildir.

Asimptotik büyüme ve yoğunluk

Eğer Q(x), x'e eşit veya ondan küçük yüksek-derece bileşik sayıların sayısını ifade ediyorsa, her ikisi de 1'den büyük olan öyle a ve b sabitleri vardır ki şu eşitsizlik sağlanır:

(\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.

Eşitsizliğin ilk kısmı 1944'te Paul Erdős tarafından, ikinci kısmı ise 1988'de Jean-Louis Nicolas tarafından kanıtlanmıştır. Şu sonuçlar elde edilmiştir:

1.13682<\liminf _{x\,\to \,\infty }{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\

ve

\limsup _{x\,\to \,\infty }{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .

^[5]

İlgili diziler

6'dan büyük yüksek-derece bileşik sayılar aynı zamanda zengin sayılardır (abundant numbers). Bu gerçeği doğrulamak için, belirli bir yüksek-derece bileşik sayının en büyük üç öz bölenine bakmak yeterlidir. Tüm yüksek-derece bileşik sayıların 10 tabanında aynı zamanda Harshad sayıları olduğu ifadesi yanlıştır. Harshad sayısı olmayan ilk aşırı bileşik sayı 245.044.800'dür; bu sayının rakamları toplamı 27'dir ve bu değer 245.044.800'ü tam olarak bölmez. İlk 38 yüksek-derece bileşik sayıdan 10'u üstün yüksek-derece bileşik sayıdır. Yüksek-derece bileşik sayılar dizisi (OEIS'de A002182 dizisi), tam olarak n bölene sahip en küçük k sayıları dizisinin (OEIS'de A005179 dizisi) bir alt kümesidir. Bölenlerinin sayısı da yüksek-derece bileşik sayı olan aşırı bileşik sayılar şunlardır:

1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (OEIS'de A189394 dizisi).

Bu dizinin tam (complete) olduğu bilinmektedir.^[6]

Pozitif bir n tam sayısı, tüm m ≤ n değerleri için d(n) ≥ d(m) şartını sağlıyorsa büyük-ölçüde bileşik sayıdır (largely composite number). Büyük-ölçüde bileşik sayıların sayma fonksiyonu Q_L(x) şu eşitsizliği sağlar:

(\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\

Burada c ve d, $0.2\leq c\leq d\leq 0.5$ aralığında pozitif değerlerdir.^[7]^[8]

Yüksek-derece bileşik bir sayının asal çarpanlara ayrılışı ilk k asal sayının tamamını kullandığından, her yüksek-derece bileşik sayı aynı zamanda bir pratik sayıdır (practical number).^[9] Kesirler içeren hesaplamalardaki kullanım kolaylıkları nedeniyle, bu sayıların birçoğu geleneksel ölçüm sistemlerinde ve mühendislik tasarımlarında kullanılmaktadır.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Ramanujan, S. (1915). "Highly composite numbers" (PDF). Proc. London Math. Soc. Series 2. Cilt 14. ss. 347-409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM 45.1248.01.
^ Kahane, Jean-Pierre (February 2015), "Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre", Notices of the American Mathematical Society, 62 (2), ss. 136-140 . Kahane, Platon'un Yasalar (771c) adlı eserine atıfta bulunmaktadır.
^ Vardoulakis, Antonis; Pugh, Clive (September 2008), "Plato's hidden theorem on the distribution of primes", The Mathematical Intelligencer, 30 (3), ss. 61-63, doi:10.1007/BF02985381 .
^ Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers .
^ Sándor ve diğerleri (2006) s. 45
^ Øverlier, Lars Magnus (2023), Highly Composite Numbers
^ Sándor ve diğerleri (2006) s. 46
^ Nicolas, Jean-Louis (1979). "Répartition des nombres largement composés". Acta Arith. (Fransızca). 34 (4). ss. 379-390. doi:10.4064/aa-34-4-379-390 . Zbl 0368.10032.
^ Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers" (PDF), Current Science, cilt 17, ss. 179-180, MR 0027799 .

Kaynakça

Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, (Ed.) (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ss. 45-46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
Erdös, P. (1944). "On highly composite numbers" (PDF). Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 19 (75_Part_3). ss. 130-133. doi:10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR 0013381.
Alaoglu, L.; Erdös, P. (1944). "On highly composite and similar numbers" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 56 (3). ss. 448-469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
Ramanujan, Srinivasa (1997). "Highly composite numbers" (PDF). Ramanujan Journal. 1 (2). ss. 119-153. doi:10.1023/A:1009764017495. MR 1606180. Jean-Louis Nicolas ve Guy Robin tarafından eklenmiş notlar ve önsöz ile.

Dış bağlantılar

[1] Ramanujan, S. (1915). "Highly composite numbers" (PDF). Proc. London Math. Soc. Series 2. Cilt 14. ss. 347-409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM 45.1248.01.

[2] Kahane, Jean-Pierre (February 2015), "Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre", Notices of the American Mathematical Society, 62 (2), ss. 136-140 . Kahane, Platon'un Yasalar (771c) adlı eserine atıfta bulunmaktadır.

[3] Vardoulakis, Antonis; Pugh, Clive (September 2008), "Plato's hidden theorem on the distribution of primes", The Mathematical Intelligencer, 30 (3), ss. 61-63, doi:10.1007/BF02985381 .

[4] Flammenkamp, Achim, Highly Composite Numbers .

[HBI45-5] Sándor ve diğerleri (2006) s. 45

[6] Øverlier, Lars Magnus (2023), Highly Composite Numbers

[HNTI46-7] Sándor ve diğerleri (2006) s. 46

[Nic79-8] Nicolas, Jean-Louis (1979). "Répartition des nombres largement composés". Acta Arith. (Fransızca). 34 (4). ss. 379-390. doi:10.4064/aa-34-4-379-390 . Zbl 0368.10032.

[9] Srinivasan, A. K. (1948), "Practical numbers" (PDF), Current Science, cilt 17, ss. 179-180, MR 0027799 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]