Verlet entegrasyonu

Verlet entegrasyonu, Newton'un hareket denklemlerini uygulamak için kullanılan nümerik yöntemlerden biridir. Genellikle Moleküler dinamik simülasyonlarında parçacıkların bir sonraki zaman dilimindeki konumlarını belirlemek için kullanılır. Hız hesaplaması yerine sadece o anki konum, önceki konum ve o anki ivmeyi kullanan bu yöntem Euler yönteminden daha isabetlidir ve gerektirdiği işlem sayısı pek farklı değildir. İlk defa 1791 yılında Delambre tarafından kullanılmıştır ve o zamandan beri çok kez yeniden keşfedilmiştir: 1909'da Cowell and Crommelin tarafından Halley kuyruklu yıldızı'nın yörüngesini hesaplamak için veya 1907'de Carl Størmer tarafından manyetik alandaki elektrik yüklü parçacıkların yörüngesini incelemek için kullanılması gibi (ayrıca bu yüzden Störmer yöntemi de denir). Daha sonra 1960'larda Loup Verlet tarafından moleküler dinamikte kullanıldı.

Temel Verlet entegrasyonu

Verlet entegrasyonu ile en azından ivmesi olan bir sistemdeki bir parçacığın küçük bir zaman dilimi Δt sonraki konumu, bir hata payı olmakla birlikte

$${\vec {x}}_{n+1}=2{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{n-1}+{\vec {a}}({\vec {x}}_{n})\,\Delta t^{2}.$$

şeklinde bulunur.

Türetilişi

Seçilen zaman dilimi Δt sıfıra yaklaştıkça hata payı azalacağından eğer sıfır kabul edersek; ivme yani konumun zamana göre ikinci türevi

${\frac {\Delta ^{2}{\vec {x}}_{n}}{\Delta t^{2}}}={\frac {{\frac {{\vec {x}}_{n+1}-{\vec {x}}_{n}}{\Delta t}}-{\frac {{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{n-1}}{\Delta t}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {x}}_{n+1}-2{\vec {x}}_{n}+{\vec {x}}_{n-1}}{\Delta t^{2}}}={\vec {a}}_{n}$ olur. buradan ${\vec {x}}_{n+1}$ yalnız bırakıldığında sonuca ulaşılır.