İçeriğe atla

Trigonometrik özdeşlikler listesi

Kontrol Edilmiş
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar üçgen özdeşliklerinden farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.

Bu özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonları içeren ifadelerin basitleştirilmesi gerektiğinde kullanışlıdır. Önemli bir uygulama, trigonometrik olmayan fonksiyonların integrasyonudur: yaygın bir teknik, önce bir trigonometrik fonksiyonla ikame kuralı kullanmayı ve ardından ortaya çıkan integrali bir trigonometrik özdeşlikle basitleştirmeyi içerir.

Pisagor özdeşlikleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Trigonometrik fonksiyonlar ve bunların birim çember üzerindeki karşılıkları. Tüm dik açılı üçgenler benzerdir, yani karşılık gelen kenarları arasındaki oranlar aynıdır. , ve için birim uzunluktaki yarıçap, onları tanımlayan üçgenin hipotenüsünü oluşturur. Karşılıklı özdeşlikler, bu birim çizginin artık hipotenüs olmadığı üçgenlerde kenarların oranları olarak ortaya çıkar. Mavi gölgeli üçgen özdeşliğini, kırmızı gölgeli üçgen ise özdeşliğini göstermektedir.

Sinüs ve kosinüs arasındaki temel ilişki Pisagor özdeşliği ile verilir:

burada ve anlamına gelir.

Bu Pisagor teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir ve birim çember için denkleminden çıkar. Bu denklem sinüs ya da kosinüs için çözülebilir:

Burada işaret 'nın çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır.

Bu özdeşliği , veya her ikisine böldüğünüzde aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:

Bu özdeşlikleri kullanarak, herhangi bir trigonometrik fonksiyonu diğer herhangi bir fonksiyon cinsinden (artı veya eksi işaretine kadar) ifade etmek mümkündür:

Her bir trigonometrik fonksiyon diğer beş fonksiyonun her biri cinsinden[1]
cinsinden

Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik

[değiştir | kaynağı değiştir]

Birim çember incelenerek trigonometrik fonksiyonların aşağıdaki özellikleri belirlenebilir.

(a,b) koordinatlarında çizilmiş teta süpürme açısına sahip birim daire. Açı bir çeyrek pi (45 derece) artışlarla yansıtıldıkça, koordinatlar dönüştürülür. Bir çeyrek pi (45 derece veya 90 - teta) dönüşümü için koordinatlar (b,a)'ya dönüştürülür. Yansıma açısının bir çeyrek pi (toplam 90 derece veya 180 - teta) daha artırılması koordinatları (-a,b)'ye dönüştürür. Yansıma açısının bir çeyrek pi daha artırılması (toplam 135 derece veya 270 - teta) koordinatları (-b,-a)'ya dönüştürür. Son bir çeyrek pi'lik artış (toplam 180 derece veya 360 - teta) koordinatları (a,-b)'ye dönüştürür.
yansıma açısını artışlarla kaydırırken (a, b) koordinatlarının dönüşümü.

Bir Öklid vektörünün yönü bir açısı ile temsil edildiğinde, bu açı serbest vektör (orijinden başlayan) ve pozitif -birim vektörü tarafından belirlenen açıdır. Aynı kavram, Öklid uzayında doğrulara da uygulanabilir; burada açı, verilen doğruya orijinden ve pozitif -ekseninden geçen bir paralel doğru tarafından belirlenen açıdır. doğrultulu bir doğru (vektör) doğrultulu bir doğru etrafında yansıtılırsa, bu yansıtılan doğrunun (vektörün) doğrultu açısı değerine sahiptir.

Bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri belirli açılar için basit özdeşlikleri karşılar: ya eşittirler, ya zıt işaretlidirler ya da tamamlayıcı trigonometrik fonksiyon kullanırlar. Bunlar indirgeme formülleri olarak da bilinir.[2]

'da yansıtılan [3]
tek/çift özdeşlikler
'te yansıtılan  'de yansıtılan  'te yansıtılan  'de yansıtılan 
ile karşılaştıtma

Kaymalar ve periyodiklik

[değiştir | kaynağı değiştir]
(a, b) koordinatlarında çizilen teta süpürme açısına sahip birim daire. Tarama açısı bir buçuk pi (90 derece) artırıldığında, koordinatlar (-b, a)'ya dönüşür. Bir başka yarım pi'lik artış (toplam 180 derece) koordinatları (-a,-b)'ye dönüştürür. Son bir yarım pi (toplam 270 derece) artış koordinatları (b, a)'ya dönüştürür.
açısını artışlarla kaydırırken
(a, b) koordinatlarının dönüşümü.
Bir çeyrek
periyot kaydırma
Bir yarım
periyot kaydırma
Tam
periyotlarla kaydırma[4]
Periyot

Trigonometrik fonksiyonların işareti açının çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır. Eğer ve sgn işaret fonksiyonu ise,

Trigonometrik fonksiyonlar ortak periyot ile periyodiktir, bu nedenle aralığının dışındaki θ değerleri için tekrar eden değerler alırlar (yukarıdaki § Kaymalar ve periyodiklik bölümüne bakın).

Açı toplam ve fark özdeşlikleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Dar açıların sinüs ve kosinüsleri için açı toplam formüllerinin gösterimi. Vurgulanan parça birim uzunluktadır. Dar açıların sinüs ve kosinüsleri için açı toplam formüllerinin gösterimi. Vurgulanan parça birim uzunluktadır.
Dar açıların sinüs ve kosinüsleri için açı toplam formüllerinin gösterimi. Vurgulanan parça birim uzunluktadır.
ve için açı farkı özdeşliklerini gösteren şekil.


Bunlar aynı zamanda açı toplam ve fark teoremleri (veya formülleri) olarak da bilinir.

ve için açı farkı özdeşlikleri, yerine koyarak ve ile gerçeklerini kullanarak açı toplamı versiyonlarından türetilebilir. Açı toplamı özdeşlikleri için şeklin biraz değiştirilmiş bir versiyonu kullanılarak da elde edilebilirler, her ikisi de burada gösterilmektedir.

Bu özdeşlikler, diğer trigonometrik fonksiyonlar için toplam ve fark özdeşliklerini de içeren aşağıdaki tablonun ilk iki satırında özetlenmiştir.

Sinüs [5][6]
Kosinüs [6][7]
Tanjant [6][8]
Kosekant [9]
Sekant [9]
Kotanjant [6][10]
Arksinüs [11]
Arkkosinüs [12]
Arktanjant [13]
Arkkotanjant

Sonsuz sayıda açının toplamlarının sinüs ve kosinüsleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

serisi, mutlak yakınsar olduğunda;

serisi mutlak yakınsadığı için, ve Özellikle, bu iki özdeşlikte sonlu sayıda açının toplamları durumunda görülmeyen bir asimetri ortaya çıkar: her çarpımda yalnızca sonlu sayıda sinüs çarpanı vardır, ancak dual sonlu çok sayıda kosinüs çarpanı vardır. Sonsuz sayıda sinüs çarpanı olan terimler zorunlu olarak sıfıra eşit olacaktır.

açılarının yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklı olduğunda, sağ taraftaki terimlerin yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklıdır çünkü sonlu sayıda sinüs çarpanı hariç hepsi yok olur (sadeleşir). Ayrıca, her bir terimde sonlu sayıda kosinüs çarpanı hariç hepsi birimdir (tekildir).

Toplamların tanjantları ve kotanjantları

[değiştir | kaynağı değiştir]

( için) değişkenler içinde kinci derece temel simetrik polinom olsun:

için yani,

Öyleyse yukarıdaki sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanarak,

Sağ taraftaki terim sayısı sol taraftaki terim sayısına bağlıdır.

Örneğin:

ve bunun gibi. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu matematiksel tümevarım ile kanıtlanabilir.[14] Sonsuz sayıda terim olması durumu, bazı temel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanabilir.[15]

Toplamların sekantları ve kosekantları

[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada , n değişkenlerinde kinci derece temel simetrik polinom olup, ve paydadaki terim sayısı ile paydaki çarpımdaki çarpan sayısı soldaki toplamdaki terim sayısına bağlıdır.[16] Sadece sonlu sayıda terim olması durumu, bu tür terimlerin sayısı üzerine matematiksel tümevarım yoluyla kanıtlanabilir.

Örneğin,

Batlamyus teoremi

[değiştir | kaynağı değiştir]
Batlamyus teoremi ile sinüs için açı toplamı trigonometri özdeşliği arasındaki ilişkiyi gösteren şekil. Batlamyus teoremi, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Bu kenar uzunlukları yukarıdaki şekilde gösterilen sin ve cos değerleri cinsinden ifade edildiğinde, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Batlamyus teoremi, trigonometrik özdeşlikler tarihinde önemlidir, çünkü sinüs ve kosinüs için toplam ve fark formüllerine eşdeğer sonuçlar ilk kez bu şekilde kanıtlanmıştır. Teorem, yandaki şekilde gösterildiği gibi çembersel dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Köşegenlerden veya kenarlardan birinin dairenin çapı olduğu özel durumlarda, bu teorem doğrudan açı toplamı ve fark trigonometrik özdeşliklerine yol açar.[17] Bu ilişki en kolay şekilde, burada gösterildiği gibi daire bir çap uzunluğunda olacak şekilde inşa edildiğinde ortaya çıkar.

Thales teoremi ile, ve her ikisi de dik açıdır. Dik açılı ve üçgenlerinin her ikisi de uzunluğu 1 olan hipotenüsünü paylaşır. Böylece kenar , , ve olur.

Çevre açı teoremine göre, çemberin merkezindeki akorunun merkezde oluşturduğu açı açısının iki katıdır, yani . Dolayısıyla, simetrik kırmızı üçgen çiftinin her birinin merkezinde açısı vardır. Bu üçgenlerin her birinin uzunluğunda bir hipotenüsü vardır, dolayısıyla uzunluğu , yani basitçe . Dörtgenin diğer köşegeni 1 uzunluğundaki çaptır, dolayısıyla köşegenlerin uzunluklarının çarpımı da 'dır.

Bu değerler, Batlamyus teoreminin ifadesinde yerine konulduğunda, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: . için açı farkı formülü, kenarının yerine çap olarak kullanılmasıyla benzer şekilde türetilebilir.[17]

Açının katları ve yarım açı formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Tn, ninci Chebyshev polinomudur [18]
de Moivre formülü, i sanal birimdir [19]

Açının katları formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Çift açı formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Sinüs için çift açı formülünün görsel ifadesi. Birim kenarlı ve açılı yukarıdaki ikizkenar üçgen için alan 1/2 × taban × yükseklik iki yönde hesaplanır. Dik durumdayken alan şeklindedir. Yan yattığında ise aynı alan . Bu nedenle,

Bir açının iki katı için formüller.[20]

Üç kat açı formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Üç kat açılar için formüller.[20]

Çok kat açı formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Çok katlı açılar için formüller.[21]

Chebyshev yöntemi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Chebyshev yöntemi, inci ve inci değerleri bilerek ninci çok katlı açı formülünü bulmak için bir özyineleme algoritmasıdır.[22]

değeri, , ve 'den eşitliği yardımıyla hesaplanabilir.

Bu durum aşağıdaki formüllerin toplanmasıyla kanıtlanabilir:

Tümevarım yoluyla 'in 'in bir polinomu olduğu sonucuna varılır, buna birinci türden Chebyshev polinomu denir, bkz. Chebyshev polinomları#Trigonometrik tanım.

Benzer şekilde, , ve 'ten yardımıyla hesaplanabilir.

Bu, ve formülleri eklenerek kanıtlanabilir.

Chebyshev yöntemine benzer bir amaca hizmet ederek, tanjnat için şunu yazabiliriz:

Yarım açı formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

[23][24]

Ayrıca

Bunlar, toplam ve fark özdeşlikleri ya da çoklu açı formülleri kullanılarak gösterilebilir.

Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant
Çift açı formülü[25][26]
Üç kat açı formülü[18][27]
Yarım açı formülü[23][24]

Sinüs ve kosinüs için üç kat açı formülünün yalnızca tek bir fonksiyonun kuvvetlerini içermesi, açıyı üçe bölmenin pergel ve düzeç konstrüksiyonu geometrik problemini kübik denklem çözme cebirsel problemiyle ilişkilendirmeye izin verir, bu da alan teorisi tarafından verilen araçları kullanarak üçlemenin genel olarak imkansız olduğunu kanıtlamaya izin verir.[kaynak belirtilmeli]

Üçte bir açı için trigonometrik özdeşlikleri hesaplamak amacıyla bir formül mevcuttur, ancak bu 4x3 − 3x + d = 0 kübik denklemin sıfırlarını yani köklerini bulmayı gerektirir, burada kosinüs fonksiyonunun üçte birlik açıdaki değeri ve d kosinüs fonksiyonunun tam açıdaki bilinen değeridir. Bununla birlikte, bu denklemin diskriminantı pozitiftir, bu nedenle bu denklemin üç reel kökü vardır (bunlardan sadece biri üçte birlik açının kosinüsü için çözümdür). Bu çözümlerin hiçbiri küp köklerin altında ara karmaşık sayılar kullandıkları için gerçek bir cebirsel ifadeye indirgenemez.

Kuvvet indirgeme formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Kosinüs çift açı formülünün ikinci ve üçüncü versiyonlarının çözülmesiyle elde edilir.

Sinüs Kosinüs Diğer
Kosinüs kuvvet indirgeme formülü: açıklayıcı bir şekil. Kırmızı, turuncu ve mavi üçgenlerin hepsi benzerdir ve kırmızı ve turuncu üçgenler eştir. Mavi üçgenin '"`UNIQ--postMath-00000127-QINU`"' hipotenüsü '"`UNIQ--postMath-00000128-QINU`"' uzunluğuna sahiptir. '"`UNIQ--postMath-00000129-QINU`"' açısı '"`UNIQ--postMath-0000012A-QINU`"' olduğundan, bu üçgenin '"`UNIQ--postMath-0000012B-QINU`"' tabanı '"`UNIQ--postMath-0000012C-QINU`"' uzunluğundadır. Bu uzunluk aynı zamanda '"`UNIQ--postMath-0000012D-QINU`"' ve '"`UNIQ--postMath-0000012E-QINU`"' uzunluklarının toplamına eşittir, yani '"`UNIQ--postMath-0000012F-QINU`"'. Bu nedenle, '"`UNIQ--postMath-00000130-QINU`"'. Her iki tarafı '"`UNIQ--postMath-00000131-QINU`"' ile böldüğümüzde kosinüs için kuvvet indirgeme formülü elde edilir: '"`UNIQ--postMath-00000132-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-00000133-QINU`"'. Kosinüs için yarım açı formülü '"`UNIQ--postMath-00000134-QINU`"' yerine '"`UNIQ--postMath-00000135-QINU`"' koyarak ve her iki tarafın karekökünü alarak elde edilebilir: '"`UNIQ--postMath-00000136-QINU`"' Kosinüs kuvvet indirgeme formülü: açıklayıcı bir şekil. Kırmızı, turuncu ve mavi üçgenlerin hepsi benzerdir ve kırmızı ve turuncu üçgenler eştir. Mavi üçgenin '"`UNIQ--postMath-00000127-QINU`"' hipotenüsü '"`UNIQ--postMath-00000128-QINU`"' uzunluğuna sahiptir. '"`UNIQ--postMath-00000129-QINU`"' açısı '"`UNIQ--postMath-0000012A-QINU`"' olduğundan, bu üçgenin '"`UNIQ--postMath-0000012B-QINU`"' tabanı '"`UNIQ--postMath-0000012C-QINU`"' uzunluğundadır. Bu uzunluk aynı zamanda '"`UNIQ--postMath-0000012D-QINU`"' ve '"`UNIQ--postMath-0000012E-QINU`"' uzunluklarının toplamına eşittir, yani '"`UNIQ--postMath-0000012F-QINU`"'. Bu nedenle, '"`UNIQ--postMath-00000130-QINU`"'. Her iki tarafı '"`UNIQ--postMath-00000131-QINU`"' ile böldüğümüzde kosinüs için kuvvet indirgeme formülü elde edilir: '"`UNIQ--postMath-00000132-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-00000133-QINU`"'. Kosinüs için yarım açı formülü '"`UNIQ--postMath-00000134-QINU`"' yerine '"`UNIQ--postMath-00000135-QINU`"' koyarak ve her iki tarafın karekökünü alarak elde edilebilir: '"`UNIQ--postMath-00000136-QINU`"'
Kosinüs kuvvet indirgeme formülü: açıklayıcı bir şekil. Kırmızı, turuncu ve mavi üçgenlerin hepsi benzerdir ve kırmızı ve turuncu üçgenler eştir. Mavi üçgenin hipotenüsü uzunluğuna sahiptir. açısı olduğundan, bu üçgenin tabanı uzunluğundadır. Bu uzunluk aynı zamanda ve uzunluklarının toplamına eşittir, yani . Bu nedenle, . Her iki tarafı ile böldüğümüzde kosinüs için kuvvet indirgeme formülü elde edilir: . Kosinüs için yarım açı formülü yerine koyarak ve her iki tarafın karekökünü alarak elde edilebilir:
Sinüs kuvvet indirgeme formülü: açıklayıcı bir şekil. Gölgeli mavi ve yeşil üçgenler ile kırmızı çizgili üçgeni dik açılı ve benzerdir ve hepsi açısını içerir. Kırmızı çizgili üçgenin hipotenüsünün uzunluğu , dolayısıyla kenarının uzunluğu 'dır. doğru parçasının uzunluğu ve ile uzunluklarının toplamı uzunluğuna eşittir, yani 1. Dolayısıyla, . Her iki taraftan çıkarıldığında ve 2'ye bölündüğünde sinüs için kuvvet indirgeme formülü elde edilir: . Sinüs için yarım açı formülü, yerine koyarak ve her iki tarafın karekökünü alarak elde edilebilir: Bu şeklin aynı zamanda dikey doğru parçasında olduğunu gösterdiğini unutmayın.

Genel olarak veya kuvvetleri cinsinden aşağıdaki doğrudur ve De Moivre formülü, Euler formülü ve binom teoremi kullanılarak çıkarılabilir.

n  ...ise
n tekse
n çiftse

Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Bir ikizkenar üçgen kullanarak prostaphaeresis hesaplamaları için toplam ve fark-çarpım kosinüs özdeşliğinin kanıtı

Çarpım-toplam özdeşlikleri[28] veya prosthaphaeresis formülleri, açı toplam teoremleri kullanılarak sağ tarafları genişletilerek kanıtlanabilir. Tarihsel olarak, bunlardan ilk dördü, astronomik hesaplamalar için kullanan Johannes Werner'den sonra Werner formülleri olarak biliniyordu.[29] Çarpım-toplam formüllerinin bir uygulaması için genlik modülasyonu ve toplam-çarpım formüllerinin uygulamaları için vuru (akustik) ile faz dedektörü bölümlerine bakınız.

Çarpım-toplam özdeşlikleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Toplam-çarpım özdeşlikleri

[değiştir | kaynağı değiştir]
Sinüs ve kosinüs için toplam-çarpım özdeşliklerini gösteren şekil. Mavi dik açılı üçgen açısına ve kırmızı dik açılı üçgen açısına sahiptir. Her ikisinin de hipotenüs uzunluğu 1'dir. Burada ve olarak adlandırılan yardımcı açılar, ve olacak şekilde oluşturulur. Bu nedenle, ve . Bu, her biri hipotenüs ve tabanlarında açısı olan iki eş mor dış çizgi üçgenin ve inşa edilmesini sağlar. Kırmızı ve mavi üçgenlerin yüksekliklerinin toplamı 'dir ve bu bir mor üçgenin yüksekliğinin iki katına eşittir, yani . Bu denklemdeki ve değerlerini ve cinsinden yazmak sinüs için bir toplam-çarpım özdeşliği verir: . Benzer şekilde, kırmızı ve mavi üçgenlerin genişliklerinin toplamı kosinüs için karşılık gelen özdeşliği verir.

Toplam-çarpım özdeşlikleri aşağıdaki gibidir:[30]

Hermite kotanjant özdeşliği

[değiştir | kaynağı değiştir]

Charles Hermite aşağıdaki özdeşliği göstermiştir.[31] sayılarının, hiçbiri π'nin bir tam sayı katı kadar farklı olmayan karmaşık sayılar olduğunu varsayalım. Varsayalım ki

(özellikle, bir boş çarpım olmak üzere, 1'dir).O halde

Aşikar olmayan en basit örnek n = 2 durumudur:

Trigonometrik fonksiyonların sonlu çarpımları

[değiştir | kaynağı değiştir]

n, m aralarında asal tam sayıları için

burada Tn Chebyshev polinomudur.[kaynak belirtilmeli]

Sinüs fonksiyonu için aşağıdaki ilişki geçerlidir;

Daha genel olarak bir n > 0 tam sayı için[32]

veya kiriş fonksiyonu cinsinden yazılabilir,

Bu, polinomunun doğrusal çarpanlara ayrılmasından gelir. (bkz. birimin kökü): Herhangi bir karmaşık z ve bir tam sayı n > 0 için,

Doğrusal kombinasyonlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bazı amaçlar için, aynı periyot veya frekansta ancak farklı faz kaymaları olan sinüs dalgalarının herhangi bir doğrusal kombinasyonunun da aynı periyot veya frekansa ancak farklı bir faz kaymasına sahip bir sinüs dalgası olduğunu bilmek önemlidir. Bu sinüzoidal veri uydurma için kullanışlıdır. Ölçülen veya gözlemlenen veriler, aşağıdaki faz içi ve kareleme bileşenleri temelinin a ve b bilinmeyenleri ile doğrusal olarak ilişkili olduğundan, ve ile karşılaştırıldığında daha basit bir Jacobyen ile sonuçlanır.

Sinüs ve kosinüs

[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinüs ve kosinüs dalgalarının doğrusal kombinasyonu veya harmonik toplamı, faz kayması ve ölçeklendirilmiş genliğe sahip tek bir sinüs dalgasına eşdeğerdir,[33][34]

burada olduğu göz önüne alındığında ve şu şekilde tanımlanır:

Keyfi faz kayması

[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha genel olarak, keyfi faz kaymaları için

Burada ve aşağıdaki ifadeleri sağlar:

İkiden fazla sinüzoid

[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel durum şu şekildedir[34] burada ve

Lagrange trigonometrik özdeşlikleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Adını Joseph Louis Lagrange'dan alan bu özdeşlikler şunlardır:[35][36][37]

için.

İlgili bir fonksiyon Dirichlet çekirdeğidir:

Benzer bir özdeşlik[38]

Kanıt aşağıdaki gibidir. açı toplam ve fark özdeşlikleri kullanılarak,

O zaman aşağıdaki formülü inceleyelim,

ve bu formül yukarıdaki özdeşlik kullanılarak yazılabilir,

Dolayısıyla, bu formülü ile bölmek kanıtı tamamlar.

Belirli doğrusal kesirli dönüşümler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer doğrusal kesirli dönüşüm tarafından veriliyorsa

ve benzer şekilde öyleyse

Daha açık bir ifadeyle, eğer tüm için yukarıda olarak adlandırdığımız şey olsun.

Eğer bir doğrunun eğimi ise, doğrunun açısı boyunca dönüşünün eğimidir.

Karmaşık üstel fonksiyon ile ilişkisi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler'in formülü, herhangi bir gerçek sayı x için:[39]

burada i sanal birimdir. x yerine -x koyduğumuzda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bu iki denklem, kosinüs ve sinüsü üstel fonksiyon cinsinden çözmek için kullanılabilir. Spesifik olarak,[40][41]

Bu formüller, diğer birçok trigonometrik özdeşliği kanıtlamak için kullanışlıdır. Örneğin,

ei(θ+φ) = e e demek oluyor ki

cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ).

Sol tarafın reel kısmının, sağ tarafın reel kısmına eşit olması kosinüs için bir açı toplama formülüdür. Sanal kısımların eşitliği sinüs için bir açı toplama formülü verir.

Aşağıdaki tablo trigonometrik fonksiyonları ve bunların terslerini üstel fonksiyon ve karmaşık logaritma cinsinden ifade etmektedir.

Fonksiyon Ters fonksiyon[42]

Seri açılımları

[değiştir | kaynağı değiştir]

Trigonometrik fonksiyonları tanımlamak için bir kuvvet serisi açılımı kullanıldığında, aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:[43]

Sonsuz çarpım formülleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Özel fonksiyon uygulamaları için, trigonometrik fonksiyonlar için aşağıdaki sonsuz çarpım formülleri kullanışlıdır:[44][45]

Ters trigonometrik fonksiyonlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki özdeşlikler, bir trigonometrik fonksiyonun bir ters trigonometrik fonksiyonla bileşiminin sonucunu verir.[46]

Yukarıdaki her bir denklemin her iki tarafının çarpımsal tersi alındığında denklemleri elde edilir. Yukarıdaki formülün sağ tarafı her zaman ters çevrilecektir. Örneğin, için denklem şöyledir: ve için denklemler ise şöyledir:

Aşağıdaki özdeşlikler, yansıma özdeşlikleri tarafından ortaya konmuştur. ilgili fonksiyonların etki alanlarında olduğunda geçerlidirler.

Aynı zamanda,[47]

Arktanjant fonksiyonu bir seri olarak genişletilebilir:[48]

Değişken içermeyen özdeşlikler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Arktanjant fonksiyonu cinsinden aşağıdaki ifadelere sahibiz;[47]

Morrie yasası olarak bilinen ilginç özdeşlik,

tek değişken içeren bir özdeşliğin özel bir durumudur:

Benzer şekilde, olan bir özdeşliğin özel bir durumudur:

durumu için,

durumu için,

Aynı kosinüs özdeşliği