Touchard polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Touchard polinomları,Jacques Touchard tarafından 1939'da çalışıldı, ayrıca [1] içinde adlandırılır [2] ,[3] binomial tipin bir polinom dizisi içeren

ile tanımlanıyor

burada S(n, k) bir ikinci türün Stirling sayısıdır, yani, bu k içinde n boyutlu bir kümenin kısımlarının sayısı parçalanmış boş-küme altkümeleridir. (yukarıdaki ikinci gösterim, {parantez} ile, Donald Knuth tarafından tanıtıldı.) n inci Touchard polinomlarının 1'de değeri n inci Bell sayısıdır, yani,n boyutun bir kümesinin parçalarının sayısı:

Eğer X bir rastgele değişken yani bir Poisson dağılımı ile λ değeri bekleniyor, ise onun n inci momenti E(Xn) = Tn(λ) dır, baş tanım:

Kullanılan bu tek durum bu hızlı polinom dizisi sağlayabilen binomal tipindir,yani, bunun özdeşinin yeterli dizisidir:

Polinomları her polinomunun 1'inci derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binom türü tek polinom dizisi oluşturur. Touchard polinomlarını her polinomun 1. derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binomal tipin tek polinom dizisini oluşturuyor.

Touchard polinomları için Rodrigues-benzeri formül uygundur:

Touchard polinomları için yineleme ilişkisi uygundur

Ve

x = 1 durumunda, bu Bell sayıları için yineleme formülüne indirgenir.

Kullanılan Şemsiye gösterimi Tn(x)=Tn(x),burada olan formüller:

Touchard polinomlarının üreteç fonksiyonu

Bu ikinci türün Stirling sayıları#üretim fonksiyonunun üreteç fonksiyonuna karşı gelir ve [1] burada üstel Polinomlar için kaynaktır. Ve bir kontur integral gösterimi

Touchard polinomları (ve burada Bell sayıları ile) , yukardaki integralin gerçel kısmı kullanılıyor, tamsayı olmayan derecesine genelleştirilebilir:

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. ISBN 0-486-44139-3.  Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi: "Roman" adı farklı içerikte birden fazla tanımlanmış. (Bkz: Kaynak gösterme)
  2. ^ Boyadzhiev, Khristo N.. "Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals.". arxiv. http://arxiv.org/pdf/0909.0979.pdf. Erişim tarihi: 23 November 2013. 
  3. ^ Brendt, Bruce C. "RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU". 3 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20160303233138/http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/gravesnatching.pdf. Erişim tarihi: 23 November 2013.