Topolojik uzaylar

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

1) $\emptyset$ ve X kümeleri S'nin elemanıdır;

2) S'nin elemanları arasından seçilecek herhangi bir $U_{\alpha }$ kolleksiyonu için, $\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ birleşim kümesi de S'nin bir elemanıdır,

3) S'nin elemanları arasından seçtiğimiz $U_{1},...,U_{n}$ kümelerinin kesişimi olan $\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}$ kümesi de S'nin elemanıdır.

Burada ikinci şartta bahsettiğimiz koleksiyonun sonsuz sayıda eleman içerebileceğine ancak üçüncü şarttaki altkümelerin sayısının sonlu olduğuna dikkat etmek gereklidir.

Geleneksel olarak X'in altkümelerinden S'nin elemanı olanlara açık kümeler denir. Buna karşılık C kümesi X'in bir altkümesiyse ve de $X\setminus C$ fark kümesi açık bir kümeyse, o zaman C'ye de kapalı bir küme denir. Bu tanıma göre X ve $\emptyset$ kümeleri aynı zamanda hem açık hem kapalıdırlar.

Verilen bir (X,S) topolojik uzayında X'in altkümelerinden oluşan öyle bir Y kümesi olsun ki X'te açık her küme Y'nin elemanlarının bir birleşimi olarak yazılabilsin. Bu durumda Y kümesine (X,S) uzayının temeli denir.

Örnekler

1) Verilen herhangi bir X kümesi için, S, X'in tüm alt kümelerinin kümesi olsun (yani her bir altküme açık olsun). Böyle oluşturulmuş topolojiye taneli (discrete) topoloji denir.

2) Reel Sayılar üzerinde (a,b) şeklindeki (a $-\infty$ ve b $\infty$ olabilir) doğru parçalarının yarattığı topoloji. Öklit Uzayları'nın geometrik özelliklerini anlamakta kullanılan doğal topolojidir.

3) Uzunluk uzayları, metrik uzaylar, iç çarpım uzayları ve Banach uzayları topolojik uzaylardır.

Ayrıca bakınız

• Topoloji
• Kompakt Uzay
• Manifold
• Cebirsel topoloji
• Diferansiyel topoloji