Temel grup

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Temel grup [1] ilk olarak Henri Poincaré tarafından 1895'te Analysis Situs [2] kitabında bahsedilmiştir. Temel grup cebirsel topoloji'de bir topolojik uzaya eşlenen, topolojik uzayın delik sayısı, şekli gibi bilgileri içeren matematiksel bir gruptur. Bu eşleme topolojik uzay üzerinde sabitlenmiş bir noktadaki döngülerin [3] birbirlerine homotopik (büzülme) [4] olup olmadıklarına göre yapılır. Bu grup, homotopi gruplarının [5] ilki ve en basididir. Homeomorf olan topolojik uzayların aynı temel grubu olur. Bu bakımdan topolojik bir değişmezdir. [6]

Homotopi[değiştir | kaynağı değiştir]

Yol[1][değiştir | kaynağı değiştir]

yolu, aralığından topolojik uzayına giden sürekli bir fonksiyondur. başlangıç noktası, bitiş noktası diye adlandırılır.

Döngü[1][değiştir | kaynağı değiştir]

döngüsü, aralığından topolojik uzayına giden başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan sürekli bir fonksiyondur.

Tanım[1][değiştir | kaynağı değiştir]

bir topolojik uzay olsun. Yolların homotopisi , fonksiyon ailesidir öyle ki; başlangıç noktası ve bitiş noktası 'den bağımsız olmalı ve şeklinde eşleştirdiğimiz fonksiyonu sürekli olmalı.

Örnek[1][değiştir | kaynağı değiştir]

'de aldığımız aynı yerde başlayıp aynı yerde biten herhangi iki ve yolunu birbirlerine homotopisi ile bağlayabiliriz. Yani üzerindeki aynı noktalarda başlayan ve biten yolları ya da döngüleri birbirlerine büzebiliriz.

Tanım [7][değiştir | kaynağı değiştir]

bir topolojik uzay ve olsun. noktasındaki tüm döngüleri içeren kümesine homotopi bağıntısını koyarsak topolojik uzayının noktasındaki döngülerine göre temel grubunu elde etmiş oluruz. şeklinde gösteriyoruz. Grubumuzun işlemi olan işlemini önce döngüsünü iki kat hızlı sonra döngüsünü iki kat hızlı gitmek olarak tanımlıyoruz. Burada olduğundan homotopi denklik bağıntısı sınıflarında temsilci seçmenin önemsiz olduğunu söylüyoruz. Grubumuzun birim elemanı noktasındaki sabit döngünün denklik sınıfıdır. Bir elemanın tersi ise şeklinde tanımlanan denklik sınıfıdır. noktasının seçimi topolojik uzayı eğer yol bağlı [8] ise önemsizdir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

üzerindeki döngüler yukarıdaki örnekte bahsettiğimiz homotopi ile birbirlerine büzülebiliyorlar. Yani bütün döngüler sabit döngüye büzülebilir. Bu da bize 'in temel grubunun bariz gruptur. birim çemberinin temel grubu 'dir. Burada üzerindeki döngülerin kaç kere döndüklerini sayıyoruz. Örneğin bir döngü 3 kere dönüyorsa bu döngüyü 3'e gönderiyoruz.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b c d Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0

Allen Hatcher, Algebraic Topology [9]