Tek taraflı limit

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Kalkülüste tek taraflı limit, x reel değişkenli bir f(x) fonksiyonun her iki limitidir. Burada x, ya üstten ya da alttan belirli bir noktaya yaklaşır. Bu limit şöyle sembolize edilebilir:

\lim_{x\to a^+}f(x)\ veya  \lim_{x\downarrow a}\,f(x) veya  \lim_{x \searrow a}\,f(x) ya da \lim_{x \underset{>}{\to} a}


a yaklaşım değerinde x azalan limittir (x, a ya "sağdan" veya "üstten" yaklaşır) ve şöyle ifade edilir.

\lim_{x\to a^-}f(x)\ veya  \lim_{x\uparrow a}\, f(x) veya  \lim_{x \nearrow a}\,f(x) ya da \lim_{x \underset{<}{\to} a}

a yaklaşım değerinde x artan limittir (x, a ya "soldan" veya "alttan" yaklaşır)

x, a ya yaklaşırken eğer f(x) fonksiyonunun limiti, iki tek taraflı limite eşittir.

\lim_{x\to a} f(x)\,

Bazı durumlarda yukarıdaki limit yoktur. Fakat yine de iki tek taraflı limit vardır. Bu nedenle x, a ya yaklaşırken fonksiyonun limiti bazen "iki taraflı limit" olarak adlandırılır. Bazı durumlarda iki tek taraflı limit vardır, bazı durumlarda yoktur.

Sağ taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

\forall\varepsilon > 0\;\exists \delta >0 \;\forall x \in I \;(0 < x - a < \delta \Rightarrow |f(x) - L|<\varepsilon)

Benzer şekilde sol taraflı limit tam olarak şöyle ifade edilebilir:

\forall\varepsilon > 0\;\exists \delta >0 \;\forall x \in I \;(0 < a - x < \delta \Rightarrow |f(x) - L|<\varepsilon)

Burada  I , f tanım kümesi içindeki aralığı ifade eder.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Farklı tek taraflı limitlere sahip bir fonksiyona örnek aşağıda verilmiştir:

\lim_{x \rarr 0^+}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 1,

Oysa

\lim_{x \rarr 0^-}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 0.

Limitin topolojik tanımı ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

p noktasındaki tek taraflı limit, limitin genel tanımına karşılık gelir. Fonksiyonun tanım kümesi tek tarafta sınırlandırılır.

Abel teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Abel teoremi

Bir önemli teorem, belirli kuvvet serisine sahip tek taraflı limitlerin kendi yakınsaklık mesafelerindeki davranışına Abel teoremi denir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]