Schild'in merdiveni

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
of Schild'in merdiveninin iki basamağı.A1X1 ve A2X2 parçaları A0X0'ın eğrisi boyunca paralel taşınımının ilk sırasıyla bir yaklaşıklıktır.

Genel görelilik teorisinde, ve daha geneli diferansiyel geometri de, Schild'in merdiveni için bir eğri boyunca bir vektörün paralel taşınım yaklaşıklığı için yalnızca bir ilk-sıra metot olan afinleştirilmiş ölçeklendirme geodezikleri kullanılıyor.Alfred Schild kendi adına olan bu metodu Princeton Üniversitesinde ders sırasında tanıttı.

Yapım[değiştir | kaynağı değiştir]

Birim uzunluk A_0X_0 ın bir jeodezik segmenti ile bir A_0 noktasında bir tanjant vektörü x tanımlamak ve Levi-Civita paralelkenarımsının bir yaklaşığı olarak yaklaşık paralel taraf A_0X_0 ve A_1X_1 ile yaklaşık bir paralelkenar oluşturmak için bir fikirdir; Yeni parça A_1X_1 böylece A_1. de bir yaklaşık paralel öteleme tanjant vektörüne karşılık gelir

A curve in M with a "vector" X0 at A0, Bir jeodezik bölüm olarak burada tanımlanan.
Select A1 on the original curve. The point P1 is the midpoint of the geodesic segment X0A1.
The point X1 is obtained by following the geodesic A0P1 for twice its parameter length.

Resmi olarak, bir γ eğrisi düşünelim bir Riemann manifoldu M içinde bir A0 noktası yardımıyla, ve diyelimki x A0'da bir tanjant vektör olsun. x ise bir jeodezik parça ile ayrıştırılabilir A0X0 yoluyla üstel göndermedir. Bu jeodezik σ yeterlidir

\sigma(0)=A_0\,
\sigma'(0) = x.\,

Schild'in merdiveni yapımı adımlardır:

  • Diyelimki X0 = σ(1), böylece jeodezik parça A_0X_0 birim uzunluk var.
  • şimdi diyelimki A1 γüzerinde bir nokta olsun A0 ya yakın, ve jeodezik yapı X0A1.
  • Diyelimki bu hassaslık içinde X0A1'ın orta noktası P1 olsun X0P1 parçaları ve P1A1 bir afin geçiş için parametre eşit alınır.
  • A0P1 jeodezik yapımı, ve bu bir nokta X1'a uzanır böylece A0X1'in parametre uzunluğu A0P1'in bu çiftidir.
  • Sonuçta A1X1 jeodezik yapımıdır.Bu jeodezik x1'e tanjant paralel taşınım ise X0'ın A1'ya, en azından ilk sırasına.

Yaklaşıklık[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu paralel taşınımın devamlı sürecinin ayrık bir yaklaşıklığıdır. Eğer ortam uzayı düzse, bu tam paralel taşınım, ve paralelkenar tanım adımları Levi-Civita paralelkenarımsı ile uyumludur.

Bir eğri uzay içinde, hata holonomi ile veriliyor A_1A_0X_0, üçgeni çevresinde bu üçgenin içi üzerinde eğrinin integraline eşittir,Ambrose-Singer teoremi ile; bu Green teoreminin bir formudur (iç üzerinde integrale ilişkin bir eğri çevresindeki integral).

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. Schild'in merdiveni jeodezikler ama aynı zamanda jeodezikler birlikte göreceli mesafe sadece gerektirmez. Bağıl mesafe gerekli orta noktaları tespit edilebilir olan jeodezikler arasında afin parametreleriyle ile sağlanabilir.
  2. Schild'in merdiveni paralel taşıma ille torsiyon-serbest inşa edilmiştir
  3. Bir Riemannian metrik jeodezikler oluşturmak için gerekli değildir.Geodezikler bir Riemann metrik oluşturulur eğer bu bağlantı torsiyon serbest olarak tanımlanır çünkü Ama, Schild'in merdiveni ile sınıra inşa edilmiştir paralel taşıma Levi-Civita bağlantısı olarak aynıdır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Kheyfets, Arkady; Miller, Warner A.; Newton, Gregory A., Schild's ladder parallel transport procedure for an arbitrary connection. International Journal of Theoretical Physics

20001200, Volume 39, Issue 12, pp 2891-2898 .