RC devresi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Direnç-kapasitör devresi (RC devresi), veya RC filtresi direnç ve kapsitörlerden oluşan ve gerilim veya akım kaynağı tarafından beslenen bir elektrik devresidir.

Başlangıç[değiştir | kaynağı değiştir]

Üç temel, doğrusal (lineer) analog devre elemanı vardır: direnç (R), kapasitör (C) ve bobin (L). Bunların dört önemli kombinasyonu vardır: RC devresi, RL devresi, LC devresi ve RLC devresi olarak bilinirler. Bu devreler, analog elektroniğin en önemli devrelerini oluşturur. Özellikle, pasif filtrelerde çokca kullanılır. Burada RC devresinin hem seri hem de paralel diyagramları gösteriliyor.

Karmaşık empedans[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir kapasitörün kapasitansı C (farad) ise karmaşık empedansı ZC (ohm)

Z_C = \frac{1}{sC} dir.

s açısal frekans gösterir ve genellikle bir karmaşık sayıdır,

s \ = \ \sigma + j \omega

Burada

  • j sanal (imajiner) birimi gösterir:
 j^2 = -1
  • \sigma \ gerçek (reel) kısım ve
  • \omega \ sanal kısım, yani sinüzoidal olan açısal frekans (radyan/saniye)tır.


Seri devre[değiştir | kaynağı değiştir]

Seri RC devresi

Devrede kapasitör üzerindeki gerilim:


V_C(s) =  \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s)

ve direnç üzerindeki gerilim:


V_R(s) = \frac{R}{R + 1/ Cs}V_{in}(s) = \frac{ RCs}{1 + RCs}V_{in}(s)
dir.

Transfer fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Kapasitörün transfer fonksiyonu


H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) }   = { 1 \over 1 + RCs  }

ve aynı şekilde direncin transfer fonfsiyonu


H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) }   = { RCs \over 1 + RCs  }
dir.

Kutuplar ve sıfırlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Her iki transfer fonksiyonunda da tek kutup vardır.


s = - {1 \over RC }
.

Ek olarak, direnç için orijinde sıfır vardır.

Kazanç ve faz açısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Kazanç iki etkene bağlıdır: Biri


G_C = | H_C(j \omega) | = \left|\frac{V_C(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}

diğeri ise


G_R = | H_R(j \omega) | = \left|\frac{V_R(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}
dir

ve faz açıları:


\phi_C =  \angle H_C(j \omega) =  \tan^{-1}\left(-\omega RC\right)

ve


\phi_R = \angle H_R(j \omega) =  \tan^{-1}\left(\frac{1}{\omega RC}\right)
.

Bu ifadeler birlikte kullanılabilir ve genellikle fazör çıkışı temsil eder:


V_C \ = \ G_{C}V_{in}  e^{j\phi_C}

V_R \ = \  G_{R}V_{in} e^{j\phi_R}
.

Akım[değiştir | kaynağı değiştir]

Seri devrelerde akım her yerde aynıdır:


I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R+1/ Cs}  =  { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)

İmpuls cevabı[değiştir | kaynağı değiştir]

Her gerilim için impuls cevabı transfer fonksiyonunun karşılığı olan ters Laplace dönüşümüdür. Bu devre bir darbenin veya delta fonksiyonunun cevabının bir giriş gerilimine bağlı olduğunu gösterir.

Kapasitörün gerilimi için impuls cevabı


h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t)  =  { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)

Burada u(t) Heaviside adım fonksiyonudur ve


\tau \ = \ RC

zaman sabitidir.

Aynı şekilde direnç geriliminin impuls cevabı


h_R(t) = \delta (t) - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t)  =  \delta (t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)

Burada da δ(t) Dirac delta fonksiyonudur.

Frekans uzayı faktörleri[değiştir | kaynağı değiştir]

\omega \to \infty'a yaklaştıkça:

G_C \to 0
G_R \to 1 olur.

\omega \to 0'a yaklaştıkça:

G_C \to 1
G_R \to 0 olur.
G_C = G_R = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Yukarıdaki denklemin çözümünden şu sonuç elde edilir:

\omega_{c} = \frac{1}{RC} \ \mathrm{rad/s}

veya

f_c = \frac{1}{2\pi RC} \ \mathrm{Hz}

Bu da filtrenin orijinal gücün yarısına düşeceği frekansıdır.


\omega \to 0'a yaklaştıkça:

\phi_C \to 0
\phi_R \to 90^{\circ} = \pi/2^{c}.

\omega \to \infty'a yaklaştıkça:

\phi_C \to -90^{\circ} = -\pi/2^{c}
\phi_R \to 0

Zaman uzayı faktörleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Zaman uzayını en doğru şekilde elde etmek için Laplace dönüşümünü ifade eden yukarıdaki V_C ve V_R yapıları kullanılır. Bu etkin dönüşümler j\omega \ s e dönüştürülür.Adım girişi yaklaşımı yapılır. (örn. Önce V_{in} = 0 yapılarak t = 0 bulunur, sonra V_{in} = V yapılır):


V_{in}(s) = V\frac{1}{s}

V_C(s) = V\frac{1}{1 + sRC}\frac{1}{s}

ve


V_R(s) = V\frac{sRC}{1 + sRC}\frac{1}{s}
.
Kapasitör geriliminin adım-cevabı.
Direnç geriliminin adım-cavabı.

Kısmi kesir açılımları ve ters Laplace dönüşümüü:


\,\!V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)

\,\!V_R(t) = Ve^{-t/RC}
.

Bu eşitlikler kapasitör ve direnç üzerindeki gerilimleri sırasıyla hesaplamak içindir. Kapasitörün dolması sırasındaki eşitlikler; boşalması sırasındaki eşitliklerin tam tersidir. Bu eşitlikler şarj ve akım ilişkisi C=Q/V ve V=IR (Ohm Kanununa bakın) kullanılarak tekrar yazılabilir.

Bu eşitlikler seri RC devrelerinde bir zaman sabitinin olduğunu gösteriyor, usually denoted \tau = RC being the time it takes the voltage across the component to either rise (across C) or fall (across R) to within 1/e of its final value. That is, \tau is the time it takes V_C to reach V(1 - 1/e) and V_R to reach V(1/e).

The rate of change is a fractional \left(1 - \frac{1}{e}\right) per \tau. Thus, in going from t=N\tau to t = (N+1)\tau, the voltage will have moved about 63.2 % of the way from its level at t=N\tau toward its final value. So C will be charged to about 63.2 % after \tau, and essentially fully charged (99.3 %) after about 5\tau. When the voltage source is replaced with a short-circuit, with C fully charged, the voltage across C drops exponentially with t from V towards 0. C will be discharged to about 36.8 % after \tau, and essentially fully discharged (0.7 %) after about 5\tau. Note that the current, I, in the circuit behaves as the voltage across R does, via Ohm's Law.

These results may also be derived by solving the differential equations describing the circuit:


\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}

and


\,\!V_R = V_{in} - V_C
.

The first equation is solved by using an integrating factor and the second follows easily; the solutions are exactly the same as those obtained via Laplace transforms.

İntegral işlemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Consider the output across the capacitor at high frequency i.e.

\omega \gg \frac{1}{RC}.

This means that the capacitor has insufficient time to charge up and so its voltage is very small. Thus the input voltage approximately equals the voltage across the resistor. To see this, consider the expression for I given above:


I = \frac{V_{in}}{R+1/j\omega C}

but note that the frequency condition described means that


\omega C \gg \frac{1}{R}

so


I \approx \frac{V_{in}}{R}
which is just Ohm's Law.

Now,


V_C = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}Idt

so


V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{in}dt
,

which is an integrator across the capacitor.

Türev işlemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Consider the output across the resistor at low frequency i.e.,


\omega \ll \frac{1}{RC}
.

This means that the capacitor has time to charge up until its voltage is almost equal to the source's voltage. Considering the expression for I again, when


R \ll \frac{1}{\omega C}
,

so


I \approx \frac{V_{in}}{1/j\omega C}

V_{in} \approx \frac{I}{j\omega C} \approx V_C

Now,


V_R = IR = C\frac{dV_C}{dt}R

V_R \approx RC\frac{dV_{in}}{dt}

which is a differentiator across the resistor.

More accurate integration and differentiation can be achieved by placing resistors and capacitors as appropriate on the input and feedback loop of operational amplifiers.

Paralel devre[değiştir | kaynağı değiştir]

Paralel RC devresi

Paralel RC devresi genellikle seri devreden daha az ilgi görür. Çünkü çıkış gerilimi V_{out}, giriş gerilimi olan V_{in} e eşittir. — Sonuç olarak, bu devre bir akım kaynağı tarafından beslenen bir filtre değildir.

Kompleks empedans:


I_R = \frac{V_{in}}{R}\,

ve


I_C = j\omega C V_{in}\,
.

Bu kapasitör akımının 90° olduğunu gösteriyor. out of phase with the resistor (and source) current. Alternatively, the governing differential equations may be used:


I_R = \frac{V_{in}}{R}

and


I_C = C\frac{dV_{in}}{dt}
.

For a step input (which is effectively a 0 Hz or DC signal), the derivative of the input is an impulse at t=0. Thus, the capacitor reaches full charge very quickly and becomes an open circuit — the well-known DC behaviour of a capacitor.

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]