Primoriyel

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
pn#'in n'in fonksiyonu olarak logaritmik eğrisi.
n#'in n'nin fonksiyonu diagramının (kırmızı noktalar) n!'le kıyası. Her iki eğri logaritmiktir.

Primoriyel (İngilizce İngilizceprime (=asal)'dan), matematikte ve bilhassa sayı teorisinde doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmış faktöriyele benzer şekilde art arda positif tam sayıları çarpacağı yerde sadece asal sayıları çarpar.

Birbiriyle çelişen iki tanımda kullanılan değişkenin mânâsı farklı yorumlanmaktadır: birincisi değişkeni asal sayıların sıralaması olarak yorumlar, dolayısıyla monoton artar. İkinci yorumu değişkeni birbiriyle çarpılacak asal sayılara işaret eder ve dolayısıyla her bileşik sayı için bir önceki değerle aynı değeri alır. Bu maddenin devamında ikinci tanım kullanılacaktır.

Primoriyel adı, bu fonksiyonla faktöriyel arasındaki analojiye işaret eden Harvey Dubner tarafından verilmiştir; faktöryel nasıl faktörlere ilgiliyse primoriyel de asal sayılarla (İng. İngilizceprime numbers veya kısaca İngilizceprimes) benzer şekilde ilgilidir.

Asal sayılar için tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

n'inci asal sayı pn için primoriyel pn#, ilk n asalın çarpımı olarak tarif edilir:[1][2]

Burada pk k'inci asal sayıdır.

Mesela p5#, ilk beş asalın çarpımını gösterir:

İlk altı primoriyel pn# are:

1, 2, 6, 30, 210, 2310. (OEIS'de A002110 dizisi)

Diziye p0# = 1 de boş çarpım olarak eklenmiştir.

Asimtotik olarak primoriyel pn#,

fonksiyonuna göre artarlar. Burada küçük o gösterimidir.[2]

Doğal sayılar için tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Genelde n pozitif tam sayısı için n#n olan bütün asalların çarpımı olarak da tarif edilebilir:[1][3]

Burada asal sayan fonksiyon (OEIS'de A000720 dizisi) olup ≤ n olan asal sayıların kaç tane olduğunu haber verir.

Bu tanım, aynı zamanda şuna da eşittir.

Mesela 12#, 12'den küçük asal sayıların çarpımıdır:

olduğundan bu değer

şeklinde hesaplanır.

Bu tanıma göre ilk 12 primoriyel n# şöyledir:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Görüldüğü gibi bileşik n için her terim n#, tarifinde de görüldüğü gibi bir önceki terimin eşidir (n − 1)#. Yukarıdaki örnekte 12 bileşik sayı olduğundan 12# = p5# = 11#'dir.

n#'nin tabii logaritması birinci Çebişev fonksiyonu olup veya şeklinde yazılır. Bu fonksiyon büyük n 'ler için lineer n 'ye yaklaşır.[4]

n# primoriyeli

fonksiyonuna göre büyür.

Bütün bilinen asal sayıları çarpma fikri asal sayıların sonsuzluğu ile ilgili bâzı ispatlarda geçmekte olup başka bir asal sayının varlığını türetmek için kullanılır.

Özellikler ve uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Primoriyeller, aritmetik artışlarda asal sayıları aramada bir rol oynar. Mesela 2236133941 + 23# bir asal sayıdır ve on üç asal sayıdan oluşan bir dizinin başıdır. Bu dizi, yukarıdaki asal sayıya 23# eklemekle elde edilir, on üçüncü ve sonuncu elemanı da 5136341251'dir. 23#, aynı zamanda on beş ve on altı asalın aritmetik progresyonunda ortak farkı teşkil eder.

Her yüksek derecede bileşik sayı primoriyellerin çarpımıdır (mesela 360 = 2·6·30).[5]

Primoriyeller karesiz tam sayılar olup kendisilerinden küçük herhangi bir sayıdan daha fazla farklı asal faktörleri vardır. Her primoriyel n için kesri, kendisinden küçük her tam sayı için olan kesirden küçüktür. Burada Euler'in totient fonksiyonudur.

Görünüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Birden büyük pozitif tam sayılar için Riemann zeta fonksiyonu[6], primorieller ve Jordan'ın totient fonksiyonunu kullanarak hesaplanabilir:

Primoriyellerin tablosu[değiştir | kaynağı değiştir]

n n# pn pn#
0 1 asal yok 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410
16 30030 53 32589158477190044730
17 510510 59 1922760350154212639070
18 510510 61 117288381359406970983270
19 9699690 67 7858321551080267055879090
20 9699690 71 557940830126698960967415390

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Eric W. Weisstein, Primorial (MathWorld), Eric W. Weisstein. "Primorial". 30 Nisan 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Mayıs 2015. 
  2. ^ a b (OEIS'de A002110 dizisi)
  3. ^ (OEIS'de A034386 dizisi)
  4. ^ Eric W. Weisstein, Chebyshev Functions (MathWorld)
  5. ^ "Sloane's A002182 : Highly composite numbers", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  6. ^ Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4). s. 321. 
  • Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]