Asal kök

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer $n\geq 1$ olan bir tam sayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,$(Z/n\cdot Z)^{x}$ veya $Z_{n}^{*}$ olarak gösterilir. Bir asal sayı için $p\geq 3$ ve $k\geq 1$ ise, bu grup ancak ve ancak $1,2,4,p^{k}\!$, veya $2p^{k}\!$ 'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya $Z_{n}^{*}$'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir deyişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tam sayıdır ki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tam sayı, g 'nin bir kuvvetine denktir.

Örneğin

$n=14\!$ alalım.$(Z/14\cdot Z)^{x}$ 'in elemanları

$1,3,5,9,11ve13\!$ 'ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14'e göre $3^{2}\equiv 9,3^{3}\equiv 13,3^{4}\equiv 11,3^{5}\equiv 5ve3^{6}\equiv 1\!$ olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.

$nn^{k}\!$ (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrar sonra kesilmiştir)

$1:1,\!$

$2:2,4,8\!$

$3:3,9,13,11,5,1\!$

$4:4,2,8\!$

$5:5,11,13,9,3,1\!$

$6:6,8\!$

$7:7,\!$

$8:8,\!$

$9:9,11,1\!$

$10:10,2,6,4,12,8\!$

$11:11,9,1\!$

$12:12,4,6,2,10,8\!$

$13:13,1\!$

$14:0,\!$

14'le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.

Problemi f(n, k) = n^k - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.