Vikipedi, özgür ansiklopedi
Jean le Rond d'Alembert Matematikte oran testi , terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
sayısını kullanmaktadır.
Oran testi şunu ifade etmektedir:
Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.
∑
n
=
1
∞
n
e
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
n
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
⋅
e
n
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
n
⋅
e
n
e
n
⋅
e
|
=
lim
n
→
∞
|
(
1
+
1
n
)
⋅
1
e
|
=
1
⋅
1
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}}
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|}
=
1
e
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{e}}<1}
Bu yüzden,
1
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}}
∑
n
=
1
∞
e
n
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}
serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
⋅
n
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
n
+
1
⋅
e
n
⋅
e
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
1
−
1
n
+
1
)
⋅
e
|
=
1
⋅
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\biggl (}1-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}\cdot e\right|=1\cdot e}
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|}
=
e
>
1
{\displaystyle e>1}
Bu yüzden,
e
{\displaystyle e}
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani
lim
n
→
∞
|
1
1
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1}
Diğer taraftan,
∑
n
=
1
∞
1
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine
lim
n
→
∞
|
1
(
n
+
1
)
2
1
n
2
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1}
Sonuç olarak,
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}
şartlı yakınsaktır ama
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
+
1
(
n
+
1
)
(
−
1
)
n
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1}
Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe 'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
ise ve
lim
n
→
∞
n
(
|
a
n
+
1
a
n
|
−
1
)
=
−
1
−
c
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c}
ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.
Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3 
