Oran testi

Jean le Rond d'Alembert

Matematikte oran testi, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

sayısını kullanmaktadır.

Oran testi şunu ifade etmektedir:

• L < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
• L > 1 ise, seri ıraksaktır.

Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.

Örnekler

Yakınsayan

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|$

= ${\frac {1}{e}}<1$

Bu yüzden, ${\frac {1}{e}}$, 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.

Iraksayan

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}$

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\biggl (}1-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}\cdot e\right|=1\cdot e$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|$

= $e>1$

Bu yüzden, $e$, 1'den büyük olduğu için seri ıraksaktır.

Sonuçsuz

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,

$\sum _{n=1}^{\infty }1$

serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1$

Diğer taraftan,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1$

Sonuç olarak,

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$

şartlı yakınsaktır ama

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1$

L=1 ve Raabe testi

Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

ise ve

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c$

ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.

Ayrıca bakınız

• Kök testi
• Yakınsaklık yarıçapı

Kaynakça

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3