Metrik tensör (genel görelilik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Metrik tensör sayfasından yönlendirildi)
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Bir matris olarak genel görelilik içinde uzay-zamanın metrik tensörü.

Genel görelilikte Metrik tensörle (veya basitçe, metrik) çalışmak temel yöntemdir. Birazcık Newton yerçekiminde tanıdığımız Yerçekimi alanının bir genelleştirilmesi olarak düşünülebilir.Metrik mesafe, hacim, eğrilik, açı, gelecek ve geçmiş gibi kavramları tanımlamak için kullanılan uzay-zamanın tüm geometrik ve nedensel yapısını, yakalar.

Gösterim ve kurallar: Bu ​​yazı boyunca biz çoğu pozitif(- + + +); metrik işaretiyle çalışıyoruz.işaret kuralına bakılabilir. Görelilikte alışılmış olduğu gibi, birimlerin kullanıldığı yerlerde c = 1. ışık hızıdır.Kütle çekim sabiti G açık tutulacaktır. Tekrarlanan indisler otomatik toplam üzerinde toplam kuralı kullanılmaktadır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiksel olarak, uzay-zaman bir 4-boyutlu diferansiyellenebilir manifold M gösterimidir ve metrik bir eşdeğişkin olarak veriliyor, ikinci-rank,M üzerinde simetrik tensör, geleneksel olarak g ile ifade edilir. Dahası metriğin işaret(-+++) ile bozunmaz olması gerekir Bir metrik arama ile donatılmış M manifolda bir Lorentziyen manifold denir.

Açıkçası, metrik her tanjant uzay noktasından düzgün bir (veya türevlenebilir) şekilde değişen M noktası üzerine bir simetrik çiftdoğrusal formdur M içinde bir x noktasında verilen iki tanjant vektörler u ve v dir ve metrik verilen bir gerçek sayı

ye u ve v üzerinden evriltilebilir:

Bu adi Öklid uzayı içinde nokta çarpımın bir genellemesi olarak düşünülebilir. Bu analoji tam değildir, bununla birlikte —metrik Minkowski uzayının yapısı verilen her tanjant uzayı Öklid uzayının aksine — burada nokta çarpım pozitif tanımdır.

Yerel koordinatlar ve matris gösterimleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Fizikçiler genellikle yerel koordinatlar içinde çalışırlar(yani Min bazı yerel yaması üzerinde tanımlanan koordinatlar).Yerel koordinatlar (burada 0 dan 3'e koşan bir indistir) metrik formu içinde yazılabilir

faktörü alanı skaler koordinatlarının gradyanı tek formdur.Metriğin koordinatlarının gradyanı tek-formunun tensör çarpımı bir doğrusal kombinasyonu böyledir. katsayıları 16 gerçek-değerli fonksiyonlarının bir kümesidir (böylece tensör g aslında bir tensör alanı ve bir uzay-zaman manifoldunun tüm noktalarında tanımlanıyor).Metrik için sıra içinde simetrik olan

olması gerekir

10 bağımsız katsayı veriliyor. Eğer simetrik tensör çarpımı ile yan yana (böylece ) ise, metrik formu içinde

yazabiliriz Eğer yerel koordinatlar özel veya bağlamdan anlaşılan,metrik girişi ile bir 4×4 simetrik matris olarak yazılabilirse 'nin dejenere olmayan anlamı bu matris tekil-olmayan dır.(yani yok-olmayan determinant var), durum bu iken g nin Lorentziyan işaret vurgusu bu matris tek negatif ve üç pozitif özdeğeri var.Unutmadan fizikte sıklıkla veya koordinatların kendileri metrik olarak bu matrise kaynaktır(bakınız, bununla birlikte, soyut indis gösterimi).

metrik bir sonsuz değişmez metrik hareketi olarak kareler aralığı veya çizgi ögesi miktarı ile bir sonsuz koordinat yerdeğiştirmesi olsun.Bu nedenle metrik notasyonunda sıklıkla için görülüyor:

görelilik içinde, metrik ve çizgi elemanı terimleri sılklıkla birbirinin yerine kullanılıyor.

çizgi ögesi uzayzamanın nedensel yapısı hakkında bilgi verir, . ise,aralığı zamangibi ve ds2nin mutlak değerinin karekökünün bir artışlı uygun zamanıdır. Yalnızca zaman gibi aralıklar bir büyük nesne ile fiziksel geçişli olabilir. Eğer , aralık ışıkgibi, ve yalnızca ışık ile geçiliyor olabilir. Eğer ise, aralık uzaygibi ve ds2nin karekökü bir artışlı uygun uzunluk olarak hareket eder. Birbirlerinin ışık konisi dışında olayları bağlamak yoluyla uzay gibi aralıkları geçilen yapmaz. Olaylar birbirlerinin ışık konisi içinde sadece nedensel ilgili olabilir. metrik bileşenler yerel koordinat sistem seçimi üzerinde açık bağlıdır . koordinatlarının bir değişikliği altında metrik bileşenler dönüşüm olarak

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Düz uzay-zaman[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Lorentzyen manifoldun basit örneği düz uzay-zaman R4 ile koordinatlar olarak verilebilir ve metrik

Unutmadan R4'ün tüm gerçek örtülü bu koordinatları,düz uzay metrik (veya Minkowski metrik) η sembolü ile sıklıkla ifade edilir ve özel görelilik içinde metrik kullanılıyor.Yukardaki koordinatlar içinde, η'in matris gösterimi

küresel koordinatlar içinde , düz uzay metriğin aldığı form

burada

2-küre üzerinde standard metriktir.

Schwarzschild metriği[değiştir | kaynağı değiştir]

Düz alanın metriği yanı sıra genel görelilik içinde en önemli metrik Schwarzschild metriği yerel koordinatların bir kümesi içinde verilebilir

burada, yine, 2-küre üzerinde standard metriktir .Burada G yerçekimi sabiti ve M kütle boyutlarında bir sabittir. Onun türevi burada bulunabilir. M (o tanımsız kökeni hariç) sıfıra yaklaşırken Schwarzschild metrik Minkowski metriği yaklaşır. r sonsuza gittiğinde Benzer şekilde, Schwarzschild metrik Minkowski metrik yaklaşır.

Diğer metrikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer önemli metrikler:

Hacim[değiştir | kaynağı değiştir]

metrik g bir doğal hacim formu tanımlar, bu uzayzaman üzerinde integrasyon için kullanılabilir.Bir manifoldun yerel koordinatları içinde, hacim formu yazlabilir

burada det g verilen koordinat sistemi için metrik tensörün bileşenlerinin matrisinin determinantıdır .

Eğrilik[değiştir | kaynağı değiştir]

Uzay-zamanın eğriliğini tamamen metrik g belirler. Riemann geometrinin temel teoremine göre, metrik ve torsiyon-serbest ile uyumlu herhangi bir yarı-Riemann manifold üzerinde benzersiz bir bağlantı ∇ var. Bu bağlantıya Levi-Civita bağlantısı denir. Bu bağlantının Christoffel sembolleri, aşağıdaki formül ile yerel koordinat olarak metriğin kısmi türevi terimleri cinsinden verilmiştir Uzay-zamanın eğriliği Riemann eğrilik tensörü ile verildiğinde bu ∇ Levi-Civita bağlantısının terimleri içinde tanımlanır.Yerel koordinatlar içinde bu tensör ile veriliyor:

Bu eğrilik metriğin terimleri içinde ise tamamen sentezlenebilir ve bu türevleridir.

Einstein denklemleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel göreliliğin bir çekirdek fikrini bu metrik (ve uzay-zamanın ilgili geometrisi) uzay-zamanın kavramları madde ve enerji ile belirleniyor.

Einstein alan denklemleri:

burada

(ve ilişkili eğrilik tensörleri) baskı–enerji tensörüne ilişkili metriktir.Bu tensör denklemi nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin metrik bileşenleri için bir karmaşık kümesidir.Einstein alan denklemlerinin tam çözümlerini bulmak çok zordur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Başvuru[değiştir | kaynağı değiştir]

Başvuruların bir listesi için bakınız Genel göreliliğin kaynakları.

Şablon:Tensors