Merkezi kuvvet

Merkezî kuvvetlerin bir diyagramı

Klasik mekanikte, bir nesne üzerindeki merkezî kuvvet (ya da merkezgel kuvveti), kuvvet merkezi adı verilen bir noktaya doğru veya o noktadan uzağa yönelmiş bir kuvvettir. $$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}$$ burada F bir kuvvet vektörü, F skaler değerli bir kuvvet fonksiyonu (mutlak değeri kuvvetin büyüklüğünü verir; kuvvet dışa doğruysa pozitif, içe doğruysa negatiftir), r konum vektörü, ||r|| bu vektörün uzunluğu ve ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$ karşılık gelen birim vektördür.

Tüm merkezî kuvvet alanları korunumlu veya küresel simetrik değildir. Ancak, bir merkezî kuvvet ancak ve ancak küresel simetrik veya dönel olarak değişmez (rotasyonel değişmez) ise korunumludur. Küresel simetrik merkezî kuvvetlerin örnekleri arasında Coulomb kuvveti ve kütleçekim kuvveti yer alır.

Özellikler

Korunumlu olan merkezî kuvvetler her zaman bir potansiyel enerjinin negatif gradyanı olarak ifade edilebilir: $$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )\;{\text{, burada }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r$$ (integralin üst sınırı keyfidir, çünkü potansiyel, toplanan bir sabite kadar tanımlıdır).

Korunumlu bir alanda, toplam mekanik enerji (kinetik ve potansiyel) korunur: $$E={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\tfrac {1}{2}}I|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{sabit}}$$ (burada 'ṙ', 'r'nin zamana göre türevini, yani hızı ifade eder; 'I' o cismin eylemsizlik momentini ve 'ω' açısal hızı belirtir) ve bir merkezî kuvvet alanında açısal momentum da korunur: $$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{sabit}}$$ çünkü kuvvetin uyguladığı tork sıfırdır.

Bunun bir sonucu olarak cisim, açısal momentum vektörüne dik olan ve orijini içeren düzlemde hareket eder ve Kepler'in ikinci yasasına uyar. (Eğer açısal momentum sıfır ise, cisim kendisini orijinle birleştiren doğru boyunca hareket eder.)

Herhangi bir merkezî kuvvetin etkisi altında hareket eden bir nesnenin Kepler'in ikinci yasasına uyduğu da gösterilebilir. Ancak, birinci ve üçüncü yasalar Newton'un evrensel kütleçekim yasasının ters kare doğasına bağlıdır ve diğer merkezî kuvvetler için genel olarak geçerli değildir.

Korunumlu olmalarının bir sonucu olarak, bu belirli merkezî kuvvet alanları irrotasyoneldir, yani orijin hariç dolamı (curl) sıfırdır: $$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} .$$

Örnekler

Kütleçekim kuvveti ve Coulomb kuvveti, $F(\mathbf {r} )$'nin sadece 1/r² ile orantılı olduğu iki tanıdık örnektir. Negatif $F(\mathbf {r} )$'ye (çekici bir kuvvete karşılık gelen) sahip böyle bir kuvvet alanındaki bir nesne Kepler'in gezegensel hareket yasalarına uyar.

Uzaysal bir harmonik salınıcının kuvvet alanı, sadece r ile orantılı ve negatif $F(\mathbf {r} )$ ile merkezîdir.

Bertrand teoremi uyarınca, bu ikisi, $F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}$ ve $F(\mathbf {r} )=-kr$, tüm sınırlı yörüngelerin kararlı kapalı yörüngeler olduğu yegâne olası merkezî kuvvet alanlarıdır. Ancak, bazı kapalı yörüngelere sahip başka kuvvet alanları da mevcuttur.