Lineer kanonik dönüşümler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Hamiltonyen mekanikte, Doğrusal kanonik dönüşüm (LCT) genelleştirilmiş çok klasik dönüşümleri olan İntegral dönüşümlerinin bir ailesidir. Burada 4 parametre ve 1 kısıtlama var, böylece bu bir 3-boyutlu ailedir, ve zaman–frekans düzlemi(domen) üzerinde SL2(R) özel doğrusal grup hareket olarak görselleştirilebilir .

LCT genelleştirilmesi Fourier, fraksiyonel Fourier, Laplace, Gauss–Weierstrass şeklindedir.Bargmann ve Fresnel ise özel durum dönüşümleridir."Doğrusal kanonik dönüşüm" adı altında kanonik dönüşümdendir, bir göndermede bu SL2(R) olarak simplektik yapı korunur ,Sp2 simplektik grup olarak yorumlanabilir , ve böylece LCT'ler simplektik formun korunması zaman–frekans domeninin doğrusal göndermeleridir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

LCT birkaç yolu içinde gösterilebilir; en kolayı,[1] Bu bir 2×2 matris olarak determinant 1 ile gösterilebilir,yani SL2(R) özel doğrusal grupun bir ögesidir.Alınan bir matris \left(\begin{smallmatrix}a & b\\c & d\end{smallmatrix}\right), ile ad − bc = 1,integral dönüşüm ile karşılanabilir:

X_{(a,b,c,d)}(u) = \sqrt{-i} \cdot e^{i  \pi \frac{d}{b} u^{2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2 \pi \frac{1}{b} ut}e^{i  \pi \frac{a}{b} t^2} x(t) \; dt \, ,    eğer b ≠ 0,
X_{(a,0,c,d)}(u) = \sqrt{d} \cdot e^{i  \pi cdu^{2}} x(du) \, , eğer b = 0.

Özel durumlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Birçok klasik dönüşümler doğrusal kanonik dönüşümün özel durumları:


\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
  0  & 1 \\
  -1 & 0
\end{bmatrix}.

\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
  \cos \theta & \sin \theta \\
 -\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}.

\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
  1  & \lambda z \\
  0 & 1
\end{bmatrix}.
burada z mesafe ve λ dalga boyudur.
  • Laplace dönüşümü 90° karmaşık domen içinde dönmeye karşılık gelir, ve matris ile gösterilebilir:

\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{bmatrix}.

\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
  i \cos \theta & i \sin \theta \\
  i \sin \theta & -i \cos \theta
\end{bmatrix}.

Elektromanyetik dalga yayılması[değiştir | kaynağı değiştir]


Dalga seyahati x ve y nin xi düzleminden, yi düzlemine resim içinde olarak resmedilir gibi sistem göründüğünü varsayarsak.Fresnel dönüşümü havadaki elektromanyetik dalga yayılımını tanımlamak için kullanılır:

 U_0(x,y) = - \frac{j}{\lambda} \frac{e^{jkz}}{z} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \frac{k}{2z}  [ (x-x_i)^2 +(y-y_i)^2 ] } U_i(x_i,y_i) \; dx_i\; dy_i,

ile

k = 2 π / λ    : dalga no;
λ  : dalga boyu;
z  : yayılmanın mesafesi;
j  : sanal birim.

Bu LCT (kesme)ye eşit, ise

 
\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d 
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
  1 & \lambda z \\
  0 & 1 
\end{bmatrix}.

seyahat mesafesi (z) daha büyük olduğunda, kesme etkisi büyüktür.

Küresel lens[değiştir | kaynağı değiştir]

şekilde lens ile ve kırılma indisi n olarak gösterilmenin bir sonucudur:[3]

 U_0(x,y) = e^{jkn \Delta} e^{-j \frac{k}{2f} [x^2 + y ^2]} U_i(x,y)

f ile odak uzaklığı ve Δ lensin kalınlığı.

Lensten geçen bozulma, LCT benzer olduğunda

 
\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d 
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-1}{\lambda f} & 1 
\end{bmatrix}.

Bu aynı zamanda bir makaslama etkisi: odak uzaklığı daha küçük olduğu zaman, kesme etkisi büyüktür.

Küresel Ayna[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel ayna—yani, bir çanak uydu —bir LCT olarak tanıtılabilir , şununla

 
\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d 
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-1}{\lambda R} & 1 
\end{bmatrix}.

Odak uzaklığı çanağın yarıçapı değiştirilmesi haricinde bu lense çok benzer.Yarıçapı ne kadar küçük ise, bu nedenle, kesme etkisi büyüktür.

örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Biri yayıcı ve diğeri bir alıcı- ve bir mesafe D' den fazla aralarında hareket eden bir sinyali iki çanak: olarak sistem sağdaki resimde gösterilmiştir.ilk,çanak A (yayıcı) için,LCT matris bunun gibi görülür:


\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-1}{\lambda R_A} & 1 
\end{bmatrix}.

Sonra, çanak B (alıcı) için,olan benzer LCT matris:


\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-1}{\lambda R_B} & 1 
\end{bmatrix}.

Havada sinyalin yayılması için, LCT matrisi:


\begin{bmatrix}
  1 & \lambda D \\
  0 & 1 
\end{bmatrix}.

Her üç komponentlerin, sistemi LCT dir:


\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-1}{\lambda R_B} & 1 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  1 & \lambda D \\
  0 & 1 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  \frac{-1}{\lambda R_A} & 1 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  1-\frac{D}{R_A} & - \lambda D \\
  \frac{1}{\lambda} (R_A^{-1} + R_B^{-1} - R_A^{-1}R_B^{-1}D)  & 1 - \frac{D}{R_B} 
\end{bmatrix}
\, .

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer zaman–frekans dönüşümleri
Uygulamalar

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ de Bruijn, N. G. (1973). "A theory of generalized functions, with applications to Wigner distribution and Weyl correspondence", Nieuw Arch. Wiskd., III. Ser., 21 205-280.
  2. ^ P.R. Deshmukh & A.S. Gudadhe (2011) Convolution structure for two version of fractional Laplace transform. Journal of Science and Arts, 2(15):143-150. [1]
  3. ^ Goodman, Joseph W. (2005), Introduction to Fourier optics (3rd bas.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4 , §5.1.3, pp. 100–102.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • J.J. Ding, "Time–frequency analysis and wavelet transform course note", the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
  • K.B. Wolf, "Integral Transforms in Science and Engineering", Ch. 9&10, New York, Plenum Press, 1979.
  • S.A. Collins, "Lens-system diffraction integral written in terms of matrix optics," J. Opt. Soc. Amer. 60, 1168–1177 (1970).
  • M. Moshinsky and C. Quesne, "Linear canonical transformations and their unitary representations," J. Math. Phys. 12, 8, 1772–1783, (1971).
  • B.M. Hennelly and J.T. Sheridan, "Fast Numerical Algorithm for the Linear Canonical Transform", J. Opt. Soc. Am. A 22, 5, 928–937 (2005).
  • H.M. Ozaktas, A. Koç, I. Sari, and M.A. Kutay, "Efficient computation of quadratic-phase integrals in optics", Opt. Let. 31, 35–37, (2006).
  • Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, "New sampling formulae related to the linear canonical transform", Signal Processing '87', 983–990, (2007).
  • A. Koç, H.M. Ozaktas, C. Candan, and M.A. Kutay, "Digital computation of linear canonical transforms", IEEE Trans. Signal Process., vol. 56, no. 6, 2383–2394, (2008).
  • Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, "On sampling of bandlimited signals associated with the linear canonical transform", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 56, no. 11, 5454–5464, (2008).
  • Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Linear Canonical Transform and Its Applications ", Beijing, Science Press, 2013.