Levi-Civita bağlantısı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Riemann geometrisinde,Levi-Civita bağlantısı bir manifoldun tanjant demeti üzerinde bir özel bağlantıdır. Daha özel olarak, bu torsiyonsuz metrik bağlantıdır, yani verilen bir Riemann metriği sözde-Riemannyen manifold tanjant demeti(bir ilgin bağlantı) üzerinde korunan torsiyonsuz bağlantıdır.

Bu bağlantı Riemannian geometrinin temel teoreminin bu özelliklerini karşılayan benzersiz bir bağlantıdır

Riemannyen teorisi içinde ve sözde-Riemannyen manifoldların eşdeğişkin türev terimleri içinde sıklıkla Levi-Civita bağlantısı kullanılıyor. Bu bağlantının yerel koordinatlarının bilesenlerinin bir sistemine sırasıyla Christoffel sembolleri denir.

Levi-Civita bağlantısı her ne kadar ilk kez Tullio Levi-Civita tarafından adlandırılsa da ilk araştırma Elwin Bruno Christoffel tarafından yapılmıştır. İçsel türevinin Levi-Civita gösterimi ve bir eğri boyunca bir vektörün paralel yer değiştirmesi başlangıç hareketi belirli bir gömme üzerine dayanıyor olsa bile, soyut bir Riemann manifoldu üzerinde anlam ifade eder

ile Christoffel sembollerinın tanımı herhangi Riemanniyen manifold içinde mantıklıdır. 1869 yılında, Christoffel bir karşıdeğişkin vektörün bileşenleri olarak bir vektör dönüşümünün içsel türevlerinin bileşenlerini araştırdı.Bu araştırma tensör analizinin gerçek başlangıcı idi.1917'den öncesinde Levi-Civita ilgin uzay ortamı içinde kullanılan türevlerin tanjensiyel bileşenleri olarak bir gömülü yüzeyin durumu içinde içsel türevi yorumladı.

Resmi tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki (M,g) bir Riemannyen manifold (veya sözde-Riemannyen manifold) olsun. O zaman bir ilgin bağlantı ∇ eğer

  1. bu metrik korunursa, yani, g = 0.
  2. Bu torsiyonsuzdur yani herhangi vektör alanları X ve Y için elimizde XY − ∇YX = [X,Y] ise,(burada [X,Y] , X ve Y vektör alanı nìn Lie braketi dir).

bu bir Levi-Civita bağlantısıdır Yukarìda durum 1 bazı kaynaklara göre metrik ile uyumlu ve durum 2 bazen simetridir, bkz. Do Carmo'nun notları.

Varsayalım bir Levi-Civita bağlantısı var bu teklik belirler. Durum 1 kullanılır ve metrik tensör g nin simetrisini buluruz:

Durum 2'nin sağ el tarafı şuna eşittir:

böylece

buluruz

Dolayısıyla Z keyfidir, bu teklik(eşsizlik) belirler ∇XY. karsit bir tanım olarak son çizgi kullanılan tek gösterilen bu ifadesi bu şekilde tanımlanan metrik ile uyumlu bir bağlantıdır, yani bir Levi-Civita bağlantısıdır.

Christoffel sembolü[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki ∇ Riemanniyen metrik bağlantısı olsun.Yerel koordinatları olarak seçelim ve diyelim ki sırasıyla bu koordinatların Christoffel sembolleri olsun. Torsiyonsuz durum 2 o zaman simetriye eşittir

Yukarıda Levi-Civita bağlantısının türevlerinin tanımı metriğin terimleri içinde bir Christoffel sembolü tanımına eşittir

burada olarak kullanılan çift metrik tensörün katsayılarıdır, yani matrisin tersinin girişleri .

Eğri boyunca türev[değiştir | kaynağı değiştir]

Levi-Civita bağlantısı (herhangi ilgin bağlantı gibi) ayrıca bir eğri boyunca tanımlanan türevdir, bazen D ile gösterilir.

(M,g) üzerinde verilen bir düzgün eğri γ ve bir vektör alanı V boyunca γ nın türevi

ile tanimlanir

(Resmiyette D geri-çekme demeti γ*TM üzerinde geri-çekme bağlantısıdır.)

Özel olarak, bir vektör alanı boyunca eğrilik γ dir. Eğer yokolursa,eğriye eşdeğişkin türevin bir jeodeziği denir.

Eşdeğişkin türevin belli bir ölçüsünün Levi-Civita bağlantısı ise, bağlantı için geodezikler o zaman kendi yay uzunluğuyla orantılı ölçeklendirilmiş olan metrikin geodezikleri tam olarak budur .

Paralel Taşınım[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel olarak, bir bağlantı ile ilgili olarak, bir eğri boyunca paralel taşınım eğrinin noktalarında tanjant uzaylar arasında eş yapılar(izomorfizmler) tanımlar.Bağlantı Levi-Civita bağlantısı ise, o zaman bu izomorfizmalar diktir- yani, onların çeşitli tanjant uzaylarda iç çarpımları korunur.

Levi-Civita bağlantısının paralel taşınımının aşağıda gösterilen görüntüleri düzlem üzerinde iki farklı Riemann metriği ile ilişkilidir; ve Kutupsal koordinatlar da ifade edilir. Soldaki görüntünün metriği standard Öklid uzunluğuna karşılık gelirken, sağdaki metrik kutupsal koordinatlardaki standart formdur, ve böylece sunulan vektörü çembere teğettir. Bu metrikte Öklidyen koordinatların merkezinde bir tekillik vardır

Levi-Civita Baglantisi altinda paralel tasinim
Cartesian transport
Bu tasinim ds2 = dr2 + r2dθ2 metrigi ile verilir .
Polar transport
Bu tasinim ds2 = dr2 + dθ2metrigi ile verilir

Örnek:R3 içinde birim küre[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelim ki R3 üzerinde skaler çarpımı kullanılıyor olsun. Diyelim ki S2 R3 içinde birim küre olsun.m noktasında S2 ya tanjant uzayı m e tüm ortogonal vektörlerin oluşturduğu R3'ün vektör alt-uzayı ile doğal denkliktir. Bu aşağıda S2 üzerinde bir Y vektör alanı ,Y göndermesi olarak gösterilebilir: S2R3, bu doyurucudur

gibi bir göndermenin diferansiyeli dY ile ifade edilir. O zaman elimizde olan :

Soru: formül

S2 üzerinde bir afin bağlantı ile tanımlanan torsiyon yok olur.

Kanıt: Bunu basitçe kanıtlamak için basit ∇ Leibniz özdeşliği doyurucudur ve ilk değişken içinde C(S2) doğrusaldır.Ayrıca bu bağlantının torsiyon serbest olduğunu göstermek için basit bir bir hesap işidir. Yani burada ispat gerektiğini her şeyden önce formülün aslında bir vektör alanını tanımlar olmasıdır. Yani, Bunun S2'de tüm m için olduğunu kanıtlamak gerekir

gönderme düşünüldüğünde

Gönderme fsabittir, bundan dolayı onun diferensiyeli kaybolur. Özel olarak

Denklem (1) yukarıda alttadır.

Aslında, Bu bağlantı Levi-Civita bağlantısı S2 üzerindeki metrik için R3'den devralınandır. Gerçekten de, bu bağlantının metrik korur olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Birincil tarihi kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Christoffel, Elwin Bruno (1869), "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", J. für die Reine und Angew. Math., 70, ss. 46–70 
  • Levi-Civita, Tullio (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana", Rend. Circ. Mat. Palermo, 42, ss. 73–205 

İkincil kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN 0-12-116052-1. 
  • Kobayashi, S., and Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  See Volume I pag. 158
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II). Publish or Perish Press. ISBN 0-914098-71-3. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]