Kullanıcı:İlaydaserbes/deneme tahtası

{{düzenle|Haziran 2019}} {{üslup}}

Tarihi

Henri Poincaré, 1895'te "Analysis Situs" adlı makalesinde temel grubu tanımladı. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinde ortaya çıktı. Karmaşık-değerli fonksiyonların monodromi özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.

Yollar ve Homotopiler

Bu bölümde uzay olarak topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız $\ I$ aralığı $\ [0,1]$ olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası $\ p$ ve bitiş noktası $\ q$ olan yollara $\ p$ ’den $\ q$ ’ya giden yollar diyeceğiz.

Yol

Bir $\ X$ uzayı alalım. Bir $\alpha \colon [0,1]\to X$ sürekli fonksiyonuna $\ X$ uzayında bir yol denir. Böyle bir $\alpha$ yolu için $\alpha (0)$ noktası başlangıç noktası ve $\alpha (1)$ noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.

$\ x,y\in X$ olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla $\ x$ ve $\ y$ olan ve $\ I=[0,1]$'den $\ X$ uzayına giden bütün yolların kümesi $\ \mathbf {P} (x,y)=\{f\colon [0,1]\to X|f(0)=x,f(1)=y\}$ olarak tanımlanır.

Şekil 1: $f$'in grafiği üzerinde kırmızı ok ile belirtilen oryantasyonu.

Örnekler

İlk örnek olarak, $\ X=[0,1]$ uzayında bir $\ f\colon [0,1]\to X$ fonksiyonunu $\ f(x)=x^{2}$ olarak tanımlayalım. $\ X=$ $\mathbb {R} ^{2}$ uzayındaki yollar genellikle $\varphi \colon [0,1]\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ ,$\ t\to (x(t),y(t))$ fonksiyonu ile temsil edilir. Burada $\ x(t)$ ve $\ y(t)$ sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir $\varphi \colon [0,1]\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ yolunu $\varphi (t)=(t,t^{2})$ şeklinde tanımlayalım. Bu durumda

• $\varphi (0)=(0,0)$ noktası, başlangıç noktası ve

• $\varphi (1)=(1,1)$ bitiş noktasıdır.

Ayrıca $\ [0,1]$ üzerindeki oryantasyonun, $\varphi$ fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.

Diğer bir örnek olarak da bir $\ g\colon [-1,1]\to [-1,1]$ fonksiyonunu ele alalım ve $\ g(x)=x^{3}$ olsun.

$\ g$ fonksiyonunun grafiği $\ X$ uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir $\beta _{1}\colon I\to X$ fonksiyonunu $\beta _{1}(t)=(t,t^{3})$ olarak tanımlayalım.

$\beta _{1}(0)=(0,0),\beta _{1}(1)=(1,1)$ olduğunu görüyoruz. $\beta _{1}$ ’in bileşenleri olan $t$ ve $t^{3}$, $I$ üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan $\beta _{1}$'in $y=x^{3}$fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.

Şekil 2: Mavi oklar $\varphi _{1}$ fonksiyonunu ve siyah oklar $\beta _{1}$ yolunu temsil etmektedir.

Şimdi $\varphi _{1}\colon [-1,1]\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ fonksiyonunu ele alalım, öyle ki $\varphi _{1}(t)=(t,t^{3})$ olsun.

$\varphi _{1}$, bir yol değildir çünkü tanım kümesi $I=[0,1]$ değildir. $\varphi _{1}$ fonksiyonunu kullanarak $x^{3}$ grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.

Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım. $\ f\colon I\to [-1,1]$ fonksiyonu $f(t)=2t-1$ olarak tanımlansın.

Sonra bileşke fonksiyonu yazalım. $\varphi _{1}\circ \ f(t)\colon I\to$ $\mathbb {R} ^{2}$ öyle ki $\varphi _{1}\circ \ f(t)=(2t-1,(2t-1)^{3})$ olsun.

$\varphi _{1}\circ \ f(0)=$ $(-1,-1)$ ve $\varphi _{1}\circ \ f(1)=(1,1)$ olmaktadır.

Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri $2t-1$ ve $(2t-1)^{3}$, $I$ tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.

Sonuç olarak $\varphi _{1}\circ \ f$ , $X$ uzayında bir yol olur.

Şekil 3: $\varphi$ ve ${\bar {\varphi }}$ yolları.

Ters Yol

$p$’den $q$’ya giden bir $\varphi \colon I\to X$ yolu için, ${\bar {\varphi }}$ ters yolu ${\bar {\varphi }}(t)=$ $\varphi (1-t)$ olarak tanımlanır. Bu durumda ${\bar {\varphi }}$ yolunun başlangıç noktası $q$ ve bitiş noktası $p$ olur.

Örnek olarak, $\varphi \colon I\to [-1,1]$ yolunu $\varphi (t)=2t-1$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $\varphi (0)=-1$ ve $\varphi (1)=0$ olur.

$\varphi$ üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek, ${\bar {\varphi }}\colon I\to [-1,1]$ olarak tanımlı ${\bar {\varphi }}(t)=$ $\varphi (1-t)$ olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).

${\bar {\varphi }}(0)=$ $\varphi (1)=0$ ve ${\bar {\varphi }}(1)=-1$ , $\varphi (0)=-1$, $\varphi (0)=-1$ olduğunu not edelim.

Şekil 4: Birim çember ve üzerindeki $\varphi$ yolu (kırmızı oklarla gösterilmiştir.)

Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim.

$S^{1}$ birim çember olmak üzere, $\varphi \colon I\to S^{1}\subset \mathbb {C}$ fonksiyonunu $\varphi (t)=$ $e^{2i\pi }=\cos 2\pi t+i\sin 2\pi t$ olarak tanımlayalım.

Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:

•$\varphi$ süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.

•$\varphi (0)=1$, $\varphi {\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}=i$, $\varphi {\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1$, $\varphi {\bigg (}{\frac {3}{4}}{\bigg )}=-i$, $\varphi (1)=1$.

Bu nedenle,$\varphi$ birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).

Birim küre üzerinde yol örneğinde ise, $R^{3}$ üzerindeki birim küreyi ele alalım: $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$.

$\varphi \colon [0,1]\to S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ fonksiyonunu $\varphi (t)=$ $(\cos \pi t,\sin \pi t,0)$ şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı $\varphi$ fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.

Sonuç olarak, $\varphi (0)=(1,0,0),\varphi {\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=(0,1,0)$ ve $\varphi (1)=(-1,0,0)$ olur. Bu yüzden, $\varphi$ fonksiyonu $S^{2}$ üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir.

• 
  Şekil 5
• 
  Şekil 6

Diğer yandan, $\beta \colon I\to S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ , $\beta (t)=$ $(0,\sin \pi 2t,\cos \pi 2t)$ biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve $\beta (0)=(0,0,1),\beta (1)=(0,1,0)$ olduğundan $\beta$ fonksiyonu $S^{2}$ üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).

Homeomorfizma

Herhangi $X$ ve $Y$ topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma, $\ f\colon X\to Y$ birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır öyle ki; $f$ ve $\ f^{-1}\colon Y\to X$ sürekli fonksiyonlardır.

Tanım

$I$’dan $I$’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır:$\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)=\left\{f\colon I\to I\mid f\ {\text{daima artan ve homeomorfizma}}\right\}$.

Önermeler

• $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ kümesi fonksiyon bileşkesi $\circ$ altında bir gruptur.

Kanıtı için, önce $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ kümesinin $\circ$ işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi $f,g\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ seçelim. $f\circ g\colon I\to I\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ olduğunu göstereceğiz.

$f$, daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde $g$ için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından $f\circ g$ fonksiyonu da artan olur.

İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan $f\circ g$ fonksiyonu da sürekli olur.

Öte yandan, $f^{-1}$ ve $g^{-1}$ fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde $(f\circ g)^{-1}=$ $g^{-1}\circ f^{-1}$ fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak $f\circ g\colon I\to I\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ elde ederiz.

Şimdi ($\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I),\circ$) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.

•Bileşim özelliği: Herhangi $f,g,h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ seçelim. Rastgele bir $x\in I$ elemanı alalım. O halde,

• $h\circ (g\circ f)(x)=h(g\circ f(x))=h(g(f(x)))$ ve • $(h\circ g)\circ f(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$ olduğundan her $x\in I$ için $h\circ (g\circ f)(x)=(h\circ g)\circ f(x)$ olur.

•Birim eleman: $\operatorname {Id} \colon I\to I$ fonksiyonu, $\operatorname {Id} (x)=x$ olduğunda ($\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I),\circ$)’nun birim elemanıdır çünkü $\operatorname {Id}$ (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.

Öte yandan $\operatorname {Id} ^{-1}\colon I\to I$ ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her $x\in I$ için $\operatorname {Id} ^{-1}(x)=\operatorname {Id} (x)\Leftrightarrow \operatorname {Id} ^{-1}=\operatorname {Id}$.

Sonuç olarak her $x\in I$ için $(f\circ \operatorname {Id} )(x)=f(\operatorname {Id} (x))=f(x),(\operatorname {Id} \circ f)(x)=\operatorname {Id} (f(x))=f(x)$ olmaktadır.

•Terslenebilme: Herhangi bir $f\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ alalım. $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$’ın tanımından dolayı, $f$’in daima artan, bire bir, örten ve sürekli olduğunu ve $f^{-1}$’in de sürekli olduğunu biliyoruz.

$f^{-1}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için, $f^{-1}$’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.

Herhangi $x,y\in I$ alalım ve $x<y$ olduğunu varsayalım. $f^{-1}(x)<f^{-1}(y)$ olduğunu gösterelim.

$f$ daima artandır ve $x<y$ olduğu için $f(x)<f(y)$ olur. $f$’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı $f(a)=x$ ve $f(b)=y$ olan biricik $a,b\in I$ elemanları vardır.

$f$ daima artan ve $x<y$ olduğu için, $f(a)<f(b)$ olur. Bu yüzden $a<b$ ve $f^{-1}(x)<f^{-1}(y)$ olur. Sonuç olarak, $\circ$ işlemi altında $\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ bir gruptur.

• Eğer $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ise $h(0)=0$ ve $h(1)=1$ olur.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ alalım; yani $h\colon I\to I$ sürekli, daima artan ve bire bir-örten bir homeomorfizmadır. O halde $f^{-1}$’ fonksiyonu da süreklidir.

$h(0)\neq \{0,1\}$ olsun, ki bu $h(0)=x\in (0,1)$ anlamına gelir. $(0,1]$ aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman $h$ sürekli olduğundan $h((0,1])$’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.

$h$ birebir ve örten olduğundan, $h((0,1])=[0,x)\cup [x,1]$ olur. Fakat $[0,x)\cup [x,1]$ bağlantılı değildir. Bu yüzden $h(0)\neq {0,1}$ varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani $h(0)=\{0,1\}$ olur.

Şimdi $h(0)=0$ olduğunu gösterelim. $h(0)=1$ olduğunu varsayalım. $h$ fonksiyonu daima artan ve $0<1$ olduğundan, $h(0)<h(1)$olur; bu da $1<h(1)$demektir.

$h\colon [0,1]\to [0,1]$ olduğundan $h(1)$ değeri $1$’den büyük olamaz. O halde $h(0)=0$ olur. Aynı muhakeme ile $h(1)=1$ sonucu elde edilir.

Sonuç olarak, her $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ için, $h(0)=0$ ve $h(1)=1$ olur.

Yollar üzerinde denklik bağıntısı

$X$ uzayında $f,g\colon I\to X$ yollarını düşünelim. Eğer $f=g\circ h$ eşitliğini sağlayan bir $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ varsa, o halde $f\approx g$ denilir.

$\approx$ bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz; $\approx$ bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

•yansıma: $f\colon I\to X$ herhangi bir yol olsun. Eğer $h$ fonksiyonunu $\operatorname {Id} \colon I\to I$ şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak $f=f\circ h$ olur. Dolayısıyla $f\approx f$ olur.

•simetri: $f,g\colon I\to X$ herhangi iki yol olsunlar. $f\approx g$ olduğunu varsayalım ve $g\approx f$ olduğunu gösterelim.

$f\approx g$ ise $f=g\circ h$ olacak şekilde bir $h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ vardır. $h$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:

$f=g\circ h\Leftrightarrow f\circ h^{-1}=g$. Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki $k=h^{-1}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ ve $g=f\circ k$ oldu. Sonuç olarak $g\approx f$ olur.

•geçişme: $f,g,h\colon I\to X$ herhangi üç yol olsunlar. $f\approx g$ ve $g\approx h$ olduklarını varsayalım ve $f\approx h$ olduğunu gösterelim.

Varsayımlara göre, $f=g\circ \varphi _{f}$ ve $g=h\circ \varphi _{g}$ eşitliklerini sağlayan $\varphi _{f},\varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ elemanları vardır. Bu nedenle, $f=g\circ \varphi _{f}\Leftrightarrow f=h\circ \varphi _{g}\circ \varphi _{f}$’dir.

$\varphi _{f},\varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ olduğundan $\varphi _{f}\circ \varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ olur. Yani $k=\varphi _{f}\circ \varphi _{g}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)$ elemanı $f=h\circ k$ eşitliğini sağlar. Dolayısıyla, $f\approx h$ olur.

Sonuç olarak $\approx$ bir denklik bağıntısıdır.

Homotopi

$\varphi _{1}$ ve $\varphi _{2}$ fonksiyonları $X$ uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi, $F\colon I\times I\to X$ , $(a,t)\mapsto F(a,t)$ şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.

(i) Her $a$ sayısı için, $F(a,t)\colon I\to X$, $p$’den $q$’ya giden bir yol belirtir.

(ii) $p$’den $q$’ya giden $\varphi _{1}$ , $\varphi _{2}$ yolları için $F(0,t)=$ $\varphi _{1}$ ve $F(1,t)=$ $\varphi _{2}$’dir. $\varphi _{1}$ ve $\varphi _{2}$ yolları bu şekilde bir $F$ homotopisi ile bağlanırlarsa $\varphi _{1}$ ve $\varphi _{2}$ homotopiktirler denilir ve $\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ şeklinde gösterilir.

Önermeler

• Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: $\varphi _{0}$, $\varphi _{1}$,$\varphi _{0}^{'}$ ve $\varphi _{1}^{'}$ $[0,1]$'den $X$ uzayına giden ve döngüler olsun. Eğer $\varphi _{0}\simeq \varphi _{0}^{'}$ ve $\varphi _{1}\simeq \varphi _{1}^{'}$olduğunda $\varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}$ denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır. $\varphi _{0}{\text{ ve }}\varphi _{0}^{'}$ arasında $F$ homotopisi ve $\varphi _{1}{\text{ ve }}\varphi _{1}^{'}$ arasında ise $G$ homotopisi olsun. $F$ ve $G$ arasında $F\circ G$ homotopisini tanımlayalım.

$F\circ G(s,t)={\begin{cases}F(2s,t),&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\G(2s-1,t),&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}}$ şeklinde tanımladığımız zaman aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz:$(F\circ G)(s,0)=F(2s,0)=\varphi _{0}{\text{, }}(F\star G)(s,1)=G(2s-1,1)=\varphi _{1}^{'}$.

Bu yüzden $\varphi _{0}\circ \varphi _{1}$ ve $\varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}$ arasında bir homotopi olduğunu göstermiş oluruz.

• Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir $\varphi$ yolunun homotopi sınıfı $[\varphi ]$ ile gösterilir.

İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstermeliyiz.

•yansıma: $\varphi _{1}\colon I\to X$, $p$’den $q$’ya giden bir yol olsun. $F\colon I\times I\to X$ , $F(a,t)=f(t)$ şeklinde tanımlanmış $F$ fonksiyonu $\varphi _{1}$ ile $\varphi _{1}$ arasında bir homotopidir; çünkü her $a$ için,

$F(a,t)\colon I\to X$ fonksiyonu $p$’den $q$’ya giden bir yoldur ve $F(0,t)=\varphi _{1}(t),F(1,t)=\varphi _{1}(t)$’dir. Sonuç olarak $\varphi _{1}\simeq \varphi _{1}$ elde edilir.

•simetri: $\varphi _{1},\varphi _{2}\colon I\to X$, $p$’den $q$’ya giden 2 yol olsun. $\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir $\ F\colon I\times I\to X$ şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit $a$ için,

$\ F(a,t)\colon I\to X$ fonksiyonu $p$’den $q$’ya giden bir yol olur ve $F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$, $F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$’dir.

Şimdi $\ F'\colon I\times I\to X$ fonksiyonunu $F'(a,t)=$ $\ F(1-a,t)$ şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit $a$ için, $F'(a,t)=$ $\ F(1-a,t)$ fonksiyonu $p$’den $q$’ya giden bir yoldur ve

$F'(0,t)=$ $\ F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ve $F'(1,t)=$ $\ F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ olur. Sonuç olarak$\ g\simeq f$ elde edilir.

•geçişme: $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\colon I\to X$ şeklinde tanımlı 3 yol olsun. $\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ ve $\varphi _{2}\simeq \varphi _{3}$ olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken; $\varphi _{1}\simeq \varphi _{3}$dir.

$\varphi _{1}\simeq \varphi _{2}$ ve $\varphi _{2}\simeq \varphi _{3}$ olduğundan öyle $F$ ve $G$ homotopileri vardır ki; $\ F\colon I\times I\to X$ , $\ F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ ve $\ F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$, $\ G\colon I\times I\to X$, $\ G(0,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ve

$\ G(1,t)=$ $\varphi _{3}(t)$’dir. Şimdi bir $\ H\colon I\times I\to X$ fonksiyonunu

${\begin{aligned}\ H(a,t)&={\begin{cases}\ F(2a,t)&0\leq a\leq {\tfrac {1}{2}}\\\ G(2a-1,t)&{\tfrac {1}{2}}\leq a\leq 1\end{cases}}\end{aligned}}$ şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki; $\ H(a,t)$ fonksiyonu $\ a=1/2$ noktası dışında her yerde süreklidir.

Öte yandan $a=1/2$ için $\lim _{a\to 1/2^{+}}H(a,t)=G(0,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ ve $\lim _{a\to 1/2^{-}}H(a,t)=F(1,t)=$ $\varphi _{2}(t)$ olmaktadır.

Dolayısıyla $\ H(a,t)$ fonksiyonu $\ a=1/2$ noktasında da süreklidir. Ayrıca, $H(0,t)=F(0,t)=$ $\varphi _{1}(t)$ ve $H(1,t)=G(1,t)=$ $\varphi _{3}(t)$ olduğunu görüyoruz.

Sonuç olarak $\varphi _{1}\simeq \varphi _{3}$

$\varphi _{1}\simeq \varphi _{3}$ elde edilir.

• $\pi _{1}(X,x_{0})$ gruptur.

Kanıtını göstermek için, varsayalim ki $x_{0}\in X$ ve $\pi _{1}(X,x_{0})$, $x_{0}$'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.

•Birim elemanı $e_{x_{0}}:[0,1]\longrightarrow X$, $e_{x_{0}}(t)=x_{0}$ olan $[e_{x_{0}}]$ döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir $f$ döngüsü için $[e_{x_{0}}]\star [f]=[f]$ eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır: $F(s,t)={\begin{cases}e_{x_{0}},&0\leq t\leq {\frac {1-s}{2}}\\f({\frac {(2t+s-1)}{(s+1)}}),&{\frac {1-s}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}$. • $f$, $\pi _{1}(X,x_{0})$'te bulunan herhangi bir döngü olsun. $f$'in tersini ${\overline {f(s)}}=f(1-s)$ olarak tanımlayalım. $f$'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise $e{\text{ ve }}f\star {\overline {f}}$ arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: $F(s,t)={\begin{cases}f(2ts),&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\f(2s(1-t),&{\frac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}$. • $f,g,h\in \pi _{1}(X,x_{0})$ herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise $[f]\star ([g]\star [h])=([f]\star [g])\star [h]$ olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: $F(t,s)={\begin{cases}f({\frac {4t}{1+s}}),&0\leq t\leq {\frac {s+1}{4}}\\g(4t-1-s),&{\frac {s+1}{4}}\leq t\leq {\frac {s+2}{4}}\\h(1-4{\frac {1-t}{2-s}}),&{\frac {s+2}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}$.

Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü $\pi _{1}(X,x_{0})$ bir gruptur.

Örnekler

• 1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu $\mathbb {Z}$ tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir: $\pi _{1}(S^{1},1)\simeq \mathbb {Z}$.
• Sekiz şeklinin temel grubu iki eleman tarafından üretilen serbest gruptur.

Dış bağlantılar

Vikikitap

Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:

Trigonometry/The unit circle

• Eric W. Weisstein, Unit circle (MathWorld)
• Flash animation for learning the unit circle
• GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic function
• https://web.stanford.edu/~aaronlan/assets/fundamental-group.pdf
• Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics: https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/808791

Kaynakça

• İngilizce vikipedi24 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Ronald Brown, Topology and Groupoids, 2006
• Allen Hatcher, Algebraic Topology [1]19 Mayıs 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[[Kategori:Cebirsel topoloji]] [[Kategori:Cebir]] [[Kategori:Grup teorisi]] [[Kategori:Matematik]] [[Kategori:Topoloji]] ∓