Kelvin fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Uygulamalı matematik alanında, Kelvin fonksiyonları Ber ν (x) ve Bei ν (x), sırasıyla, gerçek ve sanal kısımları

J_\nu(x e^{3 \pi i/4}),\,

burada x gerçek alınıyor,Jν(z), , birinci tür νinci için Bessel fonksiyonu'dur. Ayrıca,ikinci mertebeden Kerν(x) ve Keiν fonksiyonlarının ikinci türden modifiye Bessel fonksiyonu'na benzer sırasıyla gerçek ve sanal kısımları vardır. burada K_\nu(x e^{\pi i/4})\, ve K_\nu(z)\, νincidir Bu fonksiyonlar William Thomson, 1.Baron Kelvin anısına göre adlandırılmış. Kelvin fonksiyonları gerçek olması için alınan x ile Bessel fonksiyonlarının gerçek ve sanal parçaları olarak tanımlanan da, analitik fonksiyonlar) karmaşık argümanları x ei φ, φ ∈ [0, 2π).için devam edilebilir. Bern(x) ve Bein(x) entegraln, Kelvin fonksiyonlarıx = 0 da bir dal noktası sahiptir.

Ber(x)[değiştir | kaynağı değiştir]

Ber(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Ber}(x) / e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.

n tamsayıları için, Bern(x) seri açılımına sahiptir

\mathrm{Ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k

Burada \Gamma(z) olan gama fonksiyonu'dur Özel bir durumBer0(x),yaygın olarak gösterilen sadeceBer(x),seri açılımı var

\mathrm{Ber}(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k}}{[(2k)!]^2}

ve asimptotik seri

\mathrm{Ber}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \cos \alpha + g_1(x) \sin \alpha] - \frac{\mathrm{Kei}(x)}{\pi},

burada \alpha = x/\sqrt{2} - \pi/8, ve

f_1(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2
g_1(x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2

Bei(x)[değiştir | kaynağı değiştir]

Bei(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Bei}(x) / e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.

n tamsayıları için,Bein(x) seri açılımı vardır

\mathrm{Bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k

burada \Gamma(z) gama fonksiyonu'dur. özel bir durum Bei0(x),gibi yaygın ifade Bei(x),seri açılımı vardır

\mathrm{Bei}(x) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^2}

ve asimtotik seri

\mathrm{Bei}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \sin \alpha - g_1(x) \cos \alpha] - \frac{\mathrm{Ker}(x)}{\pi},

burada \alpha, f_1(x), ve g_1(x) Ber(x) için tanımlanıyor .

Ker(x)[değiştir | kaynağı değiştir]

n tamsayıları için, Kern(x) (karmaşık) seri açılımına sahiptir


\begin{align}
\mathrm{Ker}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}_n(x) \\
& {} \quad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k
\end{align}
Ker(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Ker}(x) e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.

burada \psi(z) digama fonksiyonu'dur. özel bir durum Ker_0(x), yaygın ifade sadece Ker(x), seri açılımıdır.

\mathrm{Ker}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 1)}{[(2k)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k}

ve asimptotik seri

\mathrm{Ker}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \cos \beta + g_2(x) \sin \beta],

burada \beta = x/\sqrt{2} + \pi/8, ve

f_2(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2
g_2(x) = \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2.


Kei(x)[değiştir | kaynağı değiştir]

n tamsayıları için,Kein (x) (karmaşık) seri açılımına sahiptir

\mathrm{Kei}_n(x) = -\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}_n(x) + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k
Kei(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Kei}(x) e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.

burada \psi(z) digama fonksiyonu'dur. özel bir durum Kei_0(x), yaygın ifade sadece Kei(x), seri açılımıdır.

\mathrm{Kei}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 2)}{[(2k+1)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k+1}

ve asimptotik seri

\mathrm{Kei}(x) \sim -\sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \sin \beta + g_2(x) \cos \beta],

burada \beta, f_2(x), ve g_2(x) ifadeleri Ker(x)'e yönelik olarak tanımlanır .

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
  • GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2]