Karmaşık karesel polinom

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Bir karmaşık karesel polinom bir karesel polinom böylece katsayılar karmaşık sayılardır.

Formlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer karesel polinomun yalnız tek değişkeni var ise (tek değişkenli),bu 4 ana formlara ayrılabilir:

monik ve merkezi formun aşağıdaki özellikleri var:

Eşlenik[değiştir | kaynağı değiştir]

Ara formlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Öyleki f_c(x) \, kuadratik polinomun genel formu için sıklıkla karmaşık dinamikler çalışması için afin eşlenik ve Mandelbrotun yaratılan imajı için kullanılıyor,Julia ve Fatou setleri.

Eğer \theta\, dan c \,:[4]

c = c(\theta) = \frac {e^{2 \pi \theta i}}{2} \left(1 - \frac {e^{2 \pi \theta i}}{2}\right) .

Eğer r\, den c \, ye tek değişiklik isteniyorsa:[5]


c = c(r)\,=\,\frac{1- (r-1)^2}{4}
.

Çift harita ile[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada yarı-eşlenik diyadik dönüşüm arasında (burada ikili harita adıyla) ve kuadratik polinom.

Aile[değiştir | kaynağı değiştir]

f_c : z \to z^2 +c\, kuadratik polinomların ailesi  c \in \mathbb{C} \, ile ölçeklendirilir ve adlandırılır:

  • kuadratik polinomların Douady-Hubbard ailesi[6]
  • kuadratik aile

Harita[değiştir | kaynağı değiştir]

monik ve merkezi formun değişken z\, ve ölçek c\, ile kullanımı tipiktir:

f_c(z) = z^2 +c.\,

Eğer bu ayrık nonlineer dinamik sistemin bir evirme fonksiyonu olarak kullanılıyorsa:

z_{n+1} = f_c(z_n)  \,

buna kuadratik harita denir :[7]

f_c : z \to z^2 + c. \,

Bu Mandelbrot kümesi için ardışık yoldur.

Gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada  f^n \, fonksiyon  f \, in n-inci ardışık ifadesi ve üstel değil

f_c^n(z) = f_c^1(f_c^{n-1}(z)) \,

böylece

z_n = f_c^n(z_0). \,

olası bir karışıklık için bu f.\, fonksiyonunun ardışık n.inci ifadesi için f^{\circ n}\, alışılmış şekliyle yazılır

Kritik öğeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kritik nokta[değiştir | kaynağı değiştir]

f_c\,  z_{cr} \, in bir kritik noktası ve dinamik düzlemde böylece türev kaybolur:

f_c'(z_{cr}) = 0. \,

ile

f_c'(z) = \frac{d}{dz}f_c(z) = 2z

vurgusu

 z_{cr} = 0\,

Bizim bu f_c \, nin yalnız (sonlu) kritik nokta gördüğümüz noktası  z_{cr} = 0\, dır.

z_0 Mandelbrot kümesi ardışıği için bir başlangıç noktasıdır.[8]

Kritik değer[değiştir | kaynağı değiştir]

f_c\, nin z_{cv} \ bir kritik değeri bir kritik noktanın görüntüsüdür:

z_{cv} =  f_c(z_{cr})   \,

ile

 z_{cr} = 0\,

elimizde olan

z_{cv} =  c.   \,

Böylece   c   \, ölçeği f_c(z). \, nin kritik değeridir

Kritik yörünge[değiştir | kaynağı değiştir]

Dinamik düzlem ile kritik yörünge 3-periyod döngü içine düşüyor
Dinamik düzlem ile Julia seti ve kritik yörünge.
Dynamical plane : changes of critical orbit along internal ray of main cardioid for açı 1/6
Critical orbit tending to weakly attracting fixed point with abs(multiplier)=0.99993612384259

Bir kritik noktanın ileri yörünge bir kritik yörüngesi denir.Kritik yörüngeler çok önemli çünkü her periyodik yörüngebir kritik nokta çekiyor böylece Fatou seti.[9][10] içindeki dinamikleri anlamaya yardımcı kritik yörüngeler açıklanmıştır.

z_0 = z_{cr} = 0\,

z_1 = f_c(z_0) = c\,

z_2 = f_c(z_1) = c^2 +c\,

z_3 = f_c(z_2) = (c^2 + c)^2 + c\,

... \,

Bu yörünge bir çekimsel periyodik döngü içine düşüyor.

Kritik kesit[değiştir | kaynağı değiştir]

kritik kesit dinamik düzlemin bir kesitidir ve kritik nokta içeriyor.

Kritik polinom[değiştir | kaynağı değiştir]

P_n(c) = f_c^n(z_{cr}) = f_c^n(0) \,

böylece

P_0(c)= 0 \,

P_1(c) = c \,

P_2(c) = c^2 + c \,

P_3(c) = (c^2 + c)^2 + c \,

kullanılan bu polinomlar :

  • n periyodlu bu Mandelbrot set bileşenlerinin bulunduğu merkezlerdir. Merkezler n-inci kritik polinomun kökleridir

centers = \{ c : P_n(c) = 0 \}\,

M_{n,k} = \{ c : P_k(c) = P_{k+n}(c) \}\,

Kritik eğriler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kritik polinomların diyagramına kritik eğriler denir.[11]

Bu eğriler dallanma diyagramının iskeletini yaratırlar .[12] (siyah çizgiler[13])

Düzlemler[değiştir | kaynağı değiştir]

w-düzlem ve c-düzlem

Bu dinamik sistemin bir global analizi için 4-boyutlu uzay Julia-Mandelbrot kullanılabilir .[14]

bu uzay içinde burada 2-D düzlemlerin 2 temel tipi :

  • dinamik (dinamik) düzlem, f_c\,-düzlem veya c-düzlem
  • parametre düzlemi veya z-düzlemi

Burada ayrıca diğer düzlem gibi dinamik sistemlerin analizi için w-düzlemi kullanılıyor:

  • eşlenik düzlem[15]
  • model düzlem[16]

Parametre düzlemler[değiştir | kaynağı değiştir]

Karmaşık mantıksal harita için Gamma parametre düzlemiz_{n+1} = \gamma z_n \left(1 - z_n\right),

Bir kuadratik haritanın faz uzayına parametre düzlem denir. Burada:

z0 = z_{cr} \, sabit ve c\, değikendir.

Bu dinamikler burada yoktur.Bu parametre değerlerin yalnız bir kümesidir. Burada parametre düzlem üzerinde yörüngeler yoktur.

Buradaki parametre düzlemin birçok farklı alttipidir.[18][19]

Dinamik düzlem[değiştir | kaynağı değiştir]

bir dinamik düzlem üzerinde bulunabilenler:

ve

lerinin oluşturduğu dinamik düzlem.Burada, c\, bir sabit ve z\, bir değişkendir.

iki-boyutlu dinamik düzlem sürekli dinamik sistemin üç-boyutlu uzayının bir Poincaré çapraz-bölümü olarak davranabilir .[20][21]

Türevler[değiştir | kaynağı değiştir]

c ye göre türev[değiştir | kaynağı değiştir]

parametre düzlem üzerinde:

  • c bir değişkendir
  • z_0 = 0 sabittir

c ye göre türev f_c^n(z_0)'in ilk türevidir

z_n' = \frac{d}{dc} f_c^n(z_0).

Bu türev ardışıklık ile başlatılabilir

z_0' = \frac{d}{dc} f_c^0(z_0) = 1

ile başlar ve her ardışık adımda yerine konulursa

z_{n+1}' = \frac{d}{dc} f_c^{n+1}(z_0) = 2\cdot{}f_c^n(z)\cdot\frac{d}{dc} f_c^n(z_0) + 1 = 2 \cdot z_n \cdot z_n' +1.

Bu türev için zincir kuralı kullanılarak kolayca doğrulanabilir .

Bu türev Bir Mandelbrot kümesi çizimi için uzaklık tahmin yöntemi içinde kullanılıyor.

z ye göre türev[değiştir | kaynağı değiştir]

Dinamik düzlem üzerinde:

  • z bir değişken
  • c bir sabittir

bir sabitlenmiş nokta z_0\, da

f_c'(z_0) = \frac{d}{dz}f_c(z_0) = 2z_0

periyod p nin bir z0 periyodik noktasında

(f_c^p)'(z_0) = \frac{d}{dz}f_c^p(z_0) =  \prod_{i=0}^{p-1} f_c'(z_i) = 2^p \prod_{i=0}^{p-1} z_i.

Bu periyodik (ayrıca sabitlenmiş) noktaların kararlılığını doğrulamak için kullanılıyor.

periyodik olmayan noktada:

z'_n\,

Bu türev ardışıklık ile bulunabilir,başlaması

z'_0 = 1 \,

iledir ve sonra:

z'_n= 2*z_{n-1}*z'_{n-1}\,

Bu türev Julia seti için dış uzunluk hesaplamada kullanılıyor.

Schwarzian türev[değiştir | kaynağı değiştir]

f nin Schwarzian türevi ( kısacası SD):[22]

 (Sf)(z) = \frac{f'''(z)}{f'(z)} - \frac{3}{2} \left ( \frac{f''(z)}{f'(z)}\right ) ^2  .

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Michael Yampolsky, Saeed Zakeri : Mating Siegel quadratic polynomials.
  2. ^ B Branner: Holomorphic dynamical systems in the complex plane. Mat-Report No 1996-42. Technical University of Denmark
  3. ^ Alfredo Poirier : On Post Critically Finite Polynomials Part One: Critical Portraits
  4. ^ ya tek değişiklik istiyor Michael Yampolsky, Saeed Zakeri : Mating Siegel quadratic polynomials.
  5. ^ stackexchange questions : Show that the familiar logistic map ...
  6. ^ Yunping Jing : Local connectivity of the Mandelbrot set at certain infinitely renormalizable points Complex Dynamics and Related Topics, New Studies in Advanced Mathematics, 2004, The International Press, 236-264
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Quadratic Map." From MathWorld--A Wolfram Web Resourc
  8. ^ Java program by Dieter Röß showing result of changing initial point of Mandelbrot iterations
  9. ^ M. Romera, G. Pastor, and F. Montoya : Multifurcations in nonhyperbolic fixed points of the Mandelbrot map. Fractalia 6, No. 21, 10-12 (1997)
  10. ^ Burns A M : Plotting the Escape: An Animation of Parabolic Bifurcations in the Mandelbrot Set. Mathematics Magazine, Vol. 75, No. 2 (Apr., 2002), pp. 104-116
  11. ^ The Road to Chaos is Filled with Polynomial Curves by Richard D. Neidinger and R. John Annen III. American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 8, October 1996, pp. 640-653
  12. ^ Hao, Bailin (1989). Elementary Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems. World Scientific. ISBN 9971-5-0682-3. http://power.itp.ac.cn/~hao/. 
  13. ^ M. Romera, G. Pastor and F. Montoya, "Misiurewicz points in one-dimensional quadratic maps", Physica A, 232 (1996), 517-535. Preprint
  14. ^ Julia-Mandelbrot Space at Mu-ency by Robert Munafo
  15. ^ Carleson, Lennart, Gamelin, Theodore W.: Complex Dynamics Series: Universitext, Subseries: Universitext: Tracts in Mathematics, 1st ed. 1993. Corr. 2nd printing, 1996, IX, 192 p. 28 illus., ISBN 978-0-387-97942-7
  16. ^ Holomorphic motions and puzzels by P Roesch
  17. ^ Lasse Rempe, Dierk Schleicher : Bifurcation Loci of Exponential Maps and Quadratic Polynomials: Local Connectivity, Triviality of Fibers, and Density of Hyperbolicity
  18. ^ Alternate Parameter Planes by David E. Joyce
  19. ^ exponentialmap by Robert Munafo
  20. ^ Mandelbrot set by Saratov group of theoretical nonlinear dynamics
  21. ^ Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) Periodic orbit. Scholarpedia,
  22. ^ The Schwarzian Derivative & the Critical Orbit by Wes McKinney ­ 18.091 ­ 20 April 2005

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Konuyla ilgili diğer Wikimedia sayfaları :

[{{fullurl:Commons:{{{commons}}}|uselang=tr}} Commons]'ta Karmaşık karesel polinom ile ilgili çoklu ortam dosyaları bulunmaktadır.

Şablon:Chaos theory