Jeodezik eğrilik

Vikipedi, özgür ansiklopedi
88.253.141.200 (mesaj) tarafından oluşturulmuş 20.47, 28 Eylül 2016 tarihli sürüm (Bağlantı eklendi)

Riemann geometrisi'nde bir eğrisinin ölçüsü jeodezik eğrilik olan den ne kadar uzak bir jeodezik olduğunu gösterir. Verilen bir manifoldunda jeodezik eğrilik, 'nın eğriliği(aşağı bakınız)sadece sıradandır., ama bir nin bir altmanifoldu üzerinde yatanla sınırlıysa(yani yüzey üzerinde eğrilik için), içindeki nın eğriliğine kaynak jeodezik eğrilik ve o genel manifoldu çevresi içinde eğriliğinden farklıdır. nın eğriliği ile iki faktör üzerinde bağlıdır: nın yönü içinde altmanifoldunun eğriliği (normal eğrilik ), bu yalnızca eğrinin yönünden bağımlıdır,ve 'nın eğriliği (jeodezik eğrilik ) içinde gösterilen bir ikinci derece niceliktir. Burada aradaki ilişki dır.Özel olarak üzerinde sıfır jeodezik eğrilikler var (bu "düz"dür), böylece , Bu alt manifoldu olduğu zaman işte bu nedenle ortam uzayda eğimli görünür .

Tanım

Bir ,manifoldu içinde eğriliği yay uzunluğu ile birim tanjant vektör ile ölçeklenir Bu eğrilik : in kovaryant türev normudur.Eğer üzerine yatıyorsa jeodezik eğrilik altmanifolda tanjant uzay üzerinde kovaryant türev nin izdüşümünün normudur. Tersine normal eğrilik altmanifolda normal demeti üzerinde düşünülen noktada in izdüşüm normudur

Eğer manifold çevresi öklidyen uzayı , ise kovaryant türev ifadesi in sadece genel türevidir.

Örnek

Diyelimkiüç boyutlu Öklid uzayı birim küre içindedir. nin normal eğriliği 1'e eştir, düşünülen yön bağımsızdır. Büyük çember ,eğriliği var.bu yüzden sıfır jeodezik eğrilik var, ve bunun için jeodeziklerdir. Yarıçapı daha küçük çember eğriliği ve jeodezik eğrilik olacak.

Jeodezik eğriliklerin bazı sonuçları

  • jeodezik eğrilik altmanifoldu içinde içsel eğrilik hesaplandığında genel eğriliğin dışındadır. içinde oturan alt manifoldu yolu üzerinde bağımlı değildi.* in jeodeziklerinin sıfır jeodezik eğriliği var, bunun söylenene eşdeğeri bu ifadesi tanjant uzaya ortogonaldir*Öte yandan normal eğrilik altmanifold çevre uzayda yatar kadar sıkı sıkıya bağlıdır, fakat marjinal bir eğri üzerinde yalnızca altmanifold üzerinde nokta üzerinde bağlıdır ve ,yönü ama üzerinde değil*Genel Riemannian geometrisinde,türev çevre manifoldu in Levi-Civita bağlantısı hesabı için kullanılır :.Bu, alt-manifoldu bir teğet bölümü ve bir doğal parçası halinde böler: . içinde teğet kısmı olağan türevidir (bu Gauss-Codazzi denklemleri Gauss denkleminin özel bir durumudur.), eğer normal kısım ise burada ikinci temel form olarak ifade edilir.
  • Gauss–Bonnet teoremi.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Dış bağlantılar