Holonomi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
Bir küre üzerindeki yol üzerinde paralel taşıma. ANBA dan taşımayla başlangıç vektörden farklı formlardaki bir vektör elde edilir. Bu başlangıç vektöre dönmedeki hata bağlantının holonomisi ile ölçülür.

Diferansiyel geometride, bir düzgün manifold üzerinde bir bağlantının holonomisi paralel taşınım döngüleri geometrik verilerini taşırken korumak için başarısız kapalı döngüler ölçüm bağlantı uzantılarının eğriliğinin genel geometrik sonucudur. Düzgün bağlantılar için, ilişkili holonomi monodromi türüdür, ve doğal olarak küresel bir kavramdır. Eğrilik bağlantılar için, holonomi nontrivial yerel ve küresel özelliklere sahiptir.

Bir manifold üzerinde herhangi bir tür holonominin bazı kavramlarına, paralel taşınım göndermeler aracılığıyla bağlantılıdır. Holonominin en yaygın formları simetrinin bazı tür bağlantıları için bulunmaktadır. Önemli örnekleri arasında aşağıdakiler bulunmaktadır: (Riemannyen holonomi adlandırılır) Riemannyen geometride Levi-Civita bağlantısının holonomisi, vektör demetleri içinde bağlantılarının holonomisi, Cartan bağlantılarının holonomisi ve temel demetlerin (ana demet) bağlantılarının holonomisi. Bu durumların her birinde, bağlantıların holonomisi bir Lie grubu holonomi grubu ile ayırtedilebilir.Ambrose–Singer teoremi yoluyla bir bağlantının holonomisi bağlantının eğriliği ile yakından ilişkilidir.

Riemannyen holonomi çalışması önemli bir dizi gelişmelere yol açmıştır. Holonomi simetrik uzayları incelemek ve sınıflandırmak amacıyla Cartan (1926 ) tarafından tanıtıldı. Bu daha sonra ki holonomi grupları daha genel bir çerçevede Riemann geometrisi çalışmaları için kullanılacak kadar değildi. 1952 yılında Georges de Rham de Rham ayrıştırma teoremi, yerel holonomi gruplarının etkisi altında indirgenemez uzay içine tanjant demeti ile bölerek Riemann manifoldlarının bir Kartezyen çarpımı içine bir Riemann manifoldu parçalamak için bir ilke kanıtladı. Daha sonra, 1953 yılında, M. Berger mümkün indirgenemez holonomileri sınıflandırdı. Riemann holonomi ayrıştımasının ve sınıflandırmasının ve özelliklede sicim teorisi için fizik uygulamaları vardır.

Bir vektör demeti içinde bir bağlatının holonomisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki E bir düzgün manifold M üzerinde bir k dereceli vektör demeti ve diyelimki ∇ E üzerinde bir bağlantı olsun. Verilen bir parçalı düzgün döngü M içinde x tan temelli γ : [0,1] → M,bağlantı bir paralel taşınım göndermesi Pγ: ExEx tanımlar. Bu gönderme hem doğrusal ve tersinebilir ve hem de GL(Ex) nin bir ögesi gibi tanımlanır .x da temelli ∇'nın Holonomi grubu olarak tanımı şöyledir

\mathrm{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mathrm{GL}(E_x) \mid \gamma \text{ döngüsünün temeli } x\}.'tır

x da tabanlı sınırlı holonomi grubu γ döngüleri kasılabilirlikten gelen \mathrm{Hol}^0_x(\nabla) altgruplarıdır.

Eğer M taban noktası x üzerinde holonomi grubu bağlantıları ise bağlantı yalnızca birleşmeGL(k, R) kadar içindedir. açıkça, eğer bir γ yolu M içinde x dan y ye ise

\mathrm{Hol}_y(\nabla) = P_\gamma \mathrm{Hol}_x(\nabla) P_\gamma^{-1}.

Ex ile Rk nin seçilen farklı ayrıştırımı ayrıca birleşme altgrupları verir. Bazen,genel içinde özel veya resmi olmayan tartışmalar (aşağıdaki gibi), bir tanım birleşimi kadar iyi olduğu anlayışı ile, temel noktaya başvuru yapabilir

Holonomi grubu dahilinde bazı önemli özellikler:

Bir ana demet içinde bir bağlantının holonomisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Paralel şekilde ana demet kazancı üzerinde bağlantının holonomisi için tanımlanır.G bir düzgün manifold M üzerinde bir Lie grubu ve P bir ana G-demet ise bu parakompakttır. ω P üzerinde bir bağlantı olsun.M içinde x da temelli γ : [0,1] → M bir parça düzgün döngü veriliyor x üzerinde lif içinde bir p noktası,bağlantı \tilde\gamma(0) = p gibi benzersiz bir \tilde\gamma\colon [0,1] \to P yatay kayma tanımlar.Yatay kaymanın son noktası, \tilde\gamma(1),p ama x üzerinde lif içinde p·g içinde bazı diğer noktalara rağmen genel olacak değildir :p ~ q diyerek bu P üzerinde tanımlanan bir eşdeğer ilişki ise ~P içinde yatay yolun bir parçası ile birleştirilebilir.

p de temelli ω'nın holonomi grup ise tanım olarak

\mathrm{Hol}_p(\omega) = \{g \in G \mid p \sim p\cdot g\}. \,

p de temelli sınırlı holonomi grup γ döngüsü kasılabilirin döngüsü yatay kaymalardan gelen Hol0p(ω) altgrubudur.

Eğer M ve P bağlantılı ise sadece G içinde birleşme kadar taban noktası p üzerinde bağlı holonomi grubudur.Açıkça, eğer q holonomi grubuna sahip herhangi bir başka seçilmiş ana nokta, ise q ~ p g gibi burada bir gG eşsizlik var .gnin bu değeri ile,

\mathrm{Hol}_q(\omega) = g^{-1} \mathrm{Hol}_p(\omega) g. \,

Özel olarak,

\mathrm{Hol}_{p\cdot g}(\omega) = g^{-1} \mathrm{Hol}_p(\omega) g,

Dahası, eğer p ~ q ise Holp(ω) = Holq(ω). Yukarıda olduğu gibi, bazen bir tanım konjugasyon kadar iyi olduğu anlayışı ile, holonomi grubunun ana noktasına başvuru yapar

holonomin bazı önemli özellikleri ve sınırlı holonomi grupları içerenler:

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]


Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Curvature