Harshad Sayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Eğlence Matematiğinde Harshad Sayı (veya Niven Sayı) rakamları toplamına tam bölünebilen tam sayılara denir. Harshard özelliğini sağlayan sayma tabannına n dersek sayılar n-Harshad (veya n-Niven) olarak da söylenirler. Hindistanlı matematikçi D. R. Kaprekar tarafından tanımlanmışlardır. "Harshad" kelimesi Sanskritçe harṣa (eğlence) + + da (vermek), kelimelerinin bileşiminden "eğlenceli" anlamındadır. “Niven Sayı” tabiri ise Ivan M. Niven tarafından 1977'de sayma teorisi ile ilgili yayınlanmış olan makaleye dayandırılmıştır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiksel anlamda, X sayısı n tabanında m haneli bir sayı olsun. Sayının rakamları ai (i = 0, 1, ..., m − 1). ( ai değerleri olan rakamlar 0'la n arasında değerler alıyor olsunlar  − 1.) Bu durumda X

şeklinde ifade edilebilir. Bu şartlarda aşağıdaki denklemi sağlayan bir A sayısı varsa, n tabanında X bir Harshard sayıdır.

Tüm sayma tabanalarında Harshard sayı olan sayılara hep-Harshad sayı denir. Sadece 4 adet hep-Harshad sayı vardır. 1, 2, 3, 4 ve 6. 12 sayısı 8'li sayma sistemi dışında Harshard sayıdır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • 18 sayısı 10 tabanında (sayma sisteminde) Harshard sayıdır. Çünkü rakamları olan 1 ve 8'in toplamı 9'dur (1+8=9), ve 18 sayısı 9'a tam bölünür. (18/9=2 ve 2 bir tam sayıdır)
  • 1729 sayısı 10'luk sayma sisteminde bir Harshard sayıdır çünkü rakamları toplamı olan 19'a tam bölünür (1729=19*91)
  • 19 sayısı 10'luk sayma sisteminde bir Harshard sayı değildir, çünkü rakamları toplamı 10'dur (1+9=10) ve (19/10=1.9 ve 1.9 tam sayı olmadığından) 19 10'a tam bölünmez.
  • 10'luk saynas sisteminde Harshard sayıları dizisi şöyledir:
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (OEIS'de A005349 dizisi)

Özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Bölünebilme kuralı düşünüldüğünde 9'a bölünebilen tüm sayıların Harshad sayılar olduğu düşünülebilir ama bu önerme yanlıştır. Harshad sayı hesaplamasında sadece bir defa toplama işlemi uygulanarak çıkan rakamlar toplamı ile sayı karşılaştırılır. Örneğin 99 sayısı için 9+9 = 18 eder ve 99 18'e tam bölünemediğinden Harshad sayı değildir.

Sayma sistemi veya sayma tabanı her zaman Harshad sayıdır, çünkü gösterim gereği "10" ve 1 + 0 = 1.

Bir asal sayının Harshad sayı olabilmesi için sayma sistemi veya sayma tabanından küçük olması gereklidir. Eğer sayma tabanından büyükse, kendisi ve 1 dışında (rakamları toplamı olan sayı)'ya da bölüneceğinden asal sayı olması mümkün değildir. Örneğin 11 bir Harshad sayı değildir, "11" 1 + 1 = 2 ettiğinden 2'ye tam olarak bölünmez.

Faköriyel Dizisi 10'luk sayma sisteminde Harshad sayılarla aynı başlasa da, bütün faktöriyaller Harshad sayı değillerdir. Harshad sayı olmayan ilk faktöriyal 432!'dir.

Ardışık Harshad Sayılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Maksimum Ardışık Harshad Sayı Dizisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Cooper ve Kennedy 1993 tarihinde 10'luk sayma sisteminde hiçbir 21 sayılık dizinin tamamının Harshad sayılardan olamayacağını göstermişlerdir.[1][2] Ayrıca sonsuz sayıda 20'lik grup oluşturmuşlar ve 10 tanesi de Harshad sayı olan dizileri incelemişlerdir, 10'dan büyük en küçük sayı 44363342786dır.

H. G. Grundman (1994) Cooper ve Kennedy'nin sonuçlarını genelleştirerek b-Harshad sayılar için 2b sayıda Harshard sayısı olup 2b+1 sayıda olmadığını göstermişlerdir.[2][3]. Bu sonuç b = 2 veya 3 olduğunda sonsuz sayıda 2b ardışık b-Harshad sayı olduğu gösterimini kuvvetlendirmiştir.[4]

İkilik sayma sisteminde sonsuz sayıda 6'lık sayı grubunda 4'lu Harshad sayı olduğu gösterilmiştir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E. (1993), "On consecutive Niven numbers", Fibonacci Quarterly 31 (2): 146–151, ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, http://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf 
  2. ^ a b Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. s. 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001. 
  3. ^ Grundman, H. G. (1994), "Sequences of consecutive n-Niven numbers", Fibonacci Quarterly 32 (2): 174–175, ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, http://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf 
  4. ^ Wilson, Brad (1997), "Construction of 2n consecutive n-Niven numbers", Fibonacci Quarterly 35: 122–128, ISSN 0015-0517, http://www.fq.math.ca/Scanned/35-2/wilson.pdf 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]