Gibbs fenomeni

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Matematikte, Henry Wilbraham (1848) tarafından keşfedilen Gibbs fenomeni, Henry Wilbraham (1848)[1] ve J. Willard Gibbs (1899) tarafından yeniden keşfedilen, J. Willard Gibbs (1899),[2] bir parça parça Fourier serileri sürekli türevlenebilir periyodik fonksiyonun davranışı burada tuhaf şekilde olduğu için sıçramalı süreksizliktir: Fourier serilerinin n 'inci kısmi toplam fonksiyonunun kendisinin yukarıda kısmi toplamının maksimum artış olabilir, sıçramaya yakın büyük salınımlar vardır. Aşım frekansı arttıkça ölüp, ama sonlu bir sınırı yaklaşımlar değildir. [3]

Bu işaret işleme içinde zil sesi garipliği birinci durumdur.

Fenomenin resmi bir matematiksel açıklaması[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki bir parça parça sürekli türevlenebilir fonksiyonu olsun bazı periyodu ile periyodiktir. bazı noktalarında varsayalımki, bir sıfır olmayan boşluk ile farklı fonksiyonunun sol limiti ve sağ limit :

her N ≥ 1 pozitif tam sayı için, diyelimki SN f Ninci kısmi Fourier serisi

olsun burada the Fourier katsayıları genellikle şu formülle verilir

o zaman

ve

ama

Daha genel, eğer olarak a yakınsaklığı bu gerçek sayıların herhangi dizisidir, ve eğer boşluk a pozitif ise

ve

Eğer boşluk a yerine is negatif, bir üst limit ile alt limit kavşaklarına, ve ayrıca yukarıdaki iki eşitsizlik içinde kavşak ≤ ve ≥ işaretlerine gerek vardır.

Kare dalga örnekleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Harmonikleri giderek artan sayıda bir kare dalganın katkı sentezi Animasyon. Harmoniklerin sayısı büyükse özellikle Gibbs fenomeni görülebilir.

Şimdi daha önce açıklanan kare dalga durumunda yukarıdaki Gibbs fenomeni açıklanmaktadır. L periyodu durumu içinde is , süreksizliği sıfırdadır, ve sıçrama a ya eşittir. Basitlik için bize sadece N durumu ile ilgilenirsek bu çifttir (the case of odd Ntek'in durum çok benzerdir). Ve

ele ederiz yerine koyma ile,

elde ederiz Yukarıda belirtildiği gibi. sonuç olarak,

elde ederiz Eğer normalize sinc fonksiyonu tanıtılırsa, ,biz bunu yeniden yazabiliriz

olarak yeniden yazabiliriz Ama kare braketlerin içinde bağıntılar integraline yaklaşık bir sayısal integrasyondur(daha doğrusu, bu bir orta nokta kuralı aralıklı yaklaşım ). sinc fonksiyonu sürekli olduğundan, bu yaklaşım fiili integraline yakınsamaktadır as . Böylece

elde ederiz bu önceki bölümde iddia buydu. Benzer bir hesaplama gösterileri

Sonuçları[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşım ve doyumsuzluk tan gelen salınım, ve zil artefaktlar yani kırpma artefaktlar neden olduğu için sinyal işlemede, Gibbs fenomeni istenmez. Alçak geçiren filtre olması durumunda, bu farklı bir düşük-geçiş filtresi ile azaltılabilir veya ortadan kaldırılabilir.

MRI 'de, belirgin bir fenomen Gibbs sinyal yoğunluğu farklı bitişik bölgelerin varlığı kirliliklere neden olur. Bu en sık Gibbs fenomen syringomyeli görünümünü simüle spinal MR'da, karşılaşılır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Hewitt, Edwin; Hewitt, Robert E. (1979). "The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in fourier analysis". Archive for History of Exact Sciences. 21 (2), s. 129–160. doi:10.1007/BF00330404. Erişim tarihi: 16 September 2011.  Available on-line at: National Chiao Tung University: Open Course Ware: Hewitt & Hewitt, 1979.
  2. ^ Andrew Dimarogonas. Vibration for engineers. ISBN 0-13-462938-8. 
  3. ^ H. S. Carslaw (1930). Introduction to the theory of Fourier's series and integrals (Third Edition bas.). New York: Dover Publications Inc. Chapter IX. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]