Freshman'ın rüyası

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Iki boyutta Freshman'ın rüyası bir illüstrasyon.Karenin her kenar uzunluğu X + Y. Kare alanı sarı bölgenin alanının toplamıdır(=X2), Yeşil bölgenin alanı(=Y2), ve iki beyaz bölgenin alanı(=2×X×Y).

Freshman'ın rüyası bazen hataya verilen bir isimdir(x + y)n = xn + yn, burada n bir gerçek sayı (genellikle 1'den daha büyük bir pozitif tam sayı)dır. Başlangıç öğrencileri gerçek sayıların toplamının yaygın gücünün hesabı içinde genellikle bu hata yapar .[1][2] n = 2 ise, bunun niçin yanlış olduğunu görmek kolaydır: (x + y)2 doğru bir şekilde hesaplanabilir x2 + 2xy + y2 olarak dağılımlılık (veya yaygın bilinen olarak FOIL metodu) kullanılıyor. nin daha büyük pozitif tam sayı değeri için, binom teoremi yoluyla verilen sonuç doğrudur.

"Freshman'ın rüyası" adı ayrıca bazen bir asal sayı p için kaynak gösterilen teoremdir, Eğer x ve y karakteristik p nin bir değişmeli halkasının bir üyesi,ise (x + y)p = xp + yp., verilen güncel "hata" nın tutarlı sonuçları, bölünebilen tüm p ilk ve son binom katsayısının koruması nedeniyle bu durum içindedir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • , ama .
  • genellikle eşit değildir . Örneğin, , bu 3+4=7 doğru değil. Örnek içinde, hata üs ile işlenenn = 12 olmaktadır.

Asal karakteristik[değiştir | kaynağı değiştir]

p asal ise ve x ve y p nin karakteristik bir değişmeli halkasının üyesi ise (x + y)p = xp + yp. Bu binom katsayılarının asal çarpanlarını incelenerek görülebilir: 'ninci binom katsayısı;

sayıcıp faktöriyeldir, bu p ile bölünebilirdir. Ancak,0 < n < p ise,hiçbir n! (pn)!de p ile bölünebilir değildir böylece tüm terimler psiz ve p asaldır. Böylece bir binom katsayısı her zaman bir tam sayıdır , ninci binom katsayısı p ile bölünebilirdir ve dolayısıyla halka içinde 0'a eşittir.Bizim sol sıfırıncı ve pinci katsayıları ile, bu ikisi 1 e eşit ise, istenen denklemi elde edilir.

Böylece p karakteristiği içinde freshman'ın rüyası bir değere eştir. Bu son gösterim p ile bir içyapı oluşturur, halka Frobenius içyapısı olarak bilinir Karakteristik p bir asal sayı olmak üzere Freshman rüyasının gerçeğine daha merkezi bir konumudur. Aslında, bir ilgili teoremi n sayısının asal olduğunu belirtmektedir ancak ve ancak (x+1)nxn + 1 (mod n) polinomal rhalka içindedir. Bu teorem Fermat'ın küçük Teoreminin direk bir sonucudur modern asallık testinde kilit gerçektir.[3]

Aykırı isimler ve tarihleri[değiştir | kaynağı değiştir]

"Freshman'ın rüyası" teriminin geçmişi oldukça belirsizdir.1940 taki bir makalede modüler alanlar olarak, Saunders Mac Lane Stephen Kleene'in bölüm açıklaması karakteristik 2 nin bir alanı'nın (a + b)2= a2 + b2 nin cebirin yıllanmış birinci sınıf öğrencisinin bir bilgisi olacaktı. Bu belki "Freshman" ve pozitif karakteristiğin alanı içinde binom açılımı arasında ilk bağlantıdır.[4] Böylece,cebir konuları alınan notların altyapının yazarları yaygın hatanın.İlk güncel "Freshman'ın rüyası" deyiminin onayı Hungerford's cebrin altyapısı kitaplarında (1974) görülmektedir, burada o McBrien bölümü.[5] "Freshman üsteli" aykırı terimleri içerir, Fraleigh (1998) içinde kullanılır.[6] "Freshman'ın rüyası" teriminin kendisi,matematik dışı konuları içinde 19. yüzyıl kayıtlarından bu yanadır.[7]

Öyleyse (x + y)n açılımı binom teoremi ile doğrulanır,Freshman'ın rüyası ayrıca "Çocuklar'ın Binom Teoremi" [3] veya "erkek öğrenci Binom Teoremi" olarak da bilinir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
  2. ^ Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, ISBN 0-201-53467-3.
  3. ^ a b A. Granville, It Is Easy To Determine Whether A Given Integer Is Prime, Bull. of the AMS, Volume 42, Number 1 (Sep. 2004), Pages 3–38.
  4. ^ Colin R. Fletcher, Cebir konusunda Seçilmiş makalelere bakış Susan Montgomery tarafından düzenlendi, Elizabeth W. Ralston ve diğerleri. Pp xv, 537. 1977. SBN 0 88385 203 9 (Mathematical Association of America), The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 421 (Oct., 1978), The Mathematical Association. p. 221.
  5. ^ Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 121; also in Abstract Algebra: An Introduction, 2nd edition. Brooks Cole, July 12, 1996, p. 366.
  6. ^ John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 6th edition, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 and 438.
  7. ^ Google books 1800–1900 search for "freshman's dream": Bentley's miscellany, Volume 26, p. 176, 1849