Vikipedi, özgür ansiklopedi
Euler denklemi,
e
i
n
x
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}
kompleks sayı
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
sin , cos ve
e
n
x
{\displaystyle e^{nx}}
türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.Bir örnekle ispatı Bu basit türev denklemlerini kullanarak,
d
d
x
sin
(
n
x
)
=
n
cos
(
n
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(nx)=n\cos(nx)}
d
d
x
cos
(
n
x
)
=
−
n
sin
(
n
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(nx)=-n\sin(nx)}
d
d
x
e
n
x
=
n
e
n
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{nx}=ne^{nx}}
Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:
d
d
x
e
i
n
x
=
i
n
e
i
n
x
=
i
n
cos
(
n
x
)
−
n
sin
(
n
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{inx}=ine^{inx}=in\cos(nx)-n\sin(nx)}
d
d
x
(
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
)
=
i
n
cos
(
n
x
)
−
n
sin
(
n
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos(nx)+i\sin(nx))=in\cos(nx)-n\sin(nx)}
Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.
Formülün varyantları Euler formülü' nde
x yerine
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)\!}
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}\!}
i
x
+
e
i
x
{\displaystyle ix+e^{ix}\!}
x
i
{\displaystyle x^{i}\!}
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.
Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir.
Ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları 'nı veren üreteç fonksiyonu 'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog 'u bulunabilir.
Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon 'a göredir:
Cebirsel gösterim
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
ifadesinde x yerine
ln
(
x
)
n
{\displaystyle \ln(x)\,n\!}
x
i
n
=
cos
(
ln
(
x
)
n
)
+
i
sin
(
ln
(
x
)
n
)
{\displaystyle x^{i\,n}=\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)\!}
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
cos
(
ln
(
x
)
n
)
=
x
i
n
+
x
−
i
n
2
{\displaystyle \cos(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}+x^{-i\,n}}{2}}\!}
sin
(
ln
(
x
)
n
)
=
x
i
n
−
x
−
i
n
2
i
{\displaystyle \sin(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}-x^{-i\,n}}{2\,i}}\!}
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)
ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla
∑
n
=
0
k
x
i
n
=
∑
n
=
0
k
cos
(
ln
(
x
)
n
)
+
i
sin
(
ln
(
x
)
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\ x^{i\,n}=\sum _{n=0}^{k}\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)}
toplamıda bulunabilir.
x yerine x^{i} konursa
∑
n
=
0
k
x
i
n
=
1
−
x
i
(
k
+
1
)
1
−
x
i
{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}x^{i\,n}={\frac {1-x^{i\,(k+1)}}{1-x^{i}}}\!}
İki katlı üstel
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
e
e
i
x
=
e
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x+i\sin x\,}\!}
e
e
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
+
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}
e
e
−
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
−
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}
e
cos
x
cos
(
sin
(
x
)
)
=
(
e
e
i
x
+
e
e
−
i
x
)
2
{\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}{2}}\!}
e
cos
x
sin
(
sin
(
x
)
)
=
(
e
e
i
x
−
e
e
−
i
x
)
2
i
{\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\sin(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{2i}}\!}
x yerine
π
2
−
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-x\!}
e
sin
x
cos
(
cos
(
x
)
)
=
(
e
−
i
e
i
x
+
e
i
e
−
i
x
)
2
{\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\cos(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}+e^{i\,e^{-ix}})}{2}}\!}
e
sin
x
sin
(
cos
(
x
)
)
=
(
e
−
i
e
i
x
−
e
i
e
−
i
x
)
2
i
{\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\sin(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}-e^{i\,e^{-ix}})}{2i}}\!}
t
a
n
(
s
i
n
(
x
)
)
=
i
(
e
e
i
x
−
e
e
−
i
x
)
(
e
e
i
x
+
e
e
−
i
x
)
{\displaystyle tan(sin(x))=i{\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}}\!}
t
a
n
(
c
o
s
(
x
)
)
=
i
(
e
−
i
e
i
x
−
e
i
e
−
i
x
)
(
e
−
i
e
i
x
+
e
i
e
−
i
x
)
{\displaystyle tan(cos(x))=i{\frac {(e^{-ie^{ix}}-e^{ie^{-ix}})}{(e^{-ie^{ix}}+e^{ie^{-ix}})}}\!}
İmajiner trigonometrik x-->ln(x) alınırsa
e
cos
(
ln
(
x
)
)
cos
(
sin
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
x
i
+
e
x
−
i
2
=
cos
(
i
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}+e^{x^{-i}}}{2}}=\cos(i\,x^{i})\!}
e
cos
(
ln
(
x
)
)
sin
(
sin
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
x
i
−
e
x
−
i
2
i
=
sin
(
i
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}-e^{x^{-i}}}{2i}}=\sin(i\,x^{i})\!}
e
cos
(
ln
(
x
)
)
cos
(
cos
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
−
i
x
i
+
e
i
x
−
i
2
=
cos
(
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}+e^{i\,x^{-i}}}{2}}=\cos(x^{i})\!}
e
cos
(
ln
(
x
)
)
sin
(
cos
(
ln
(
x
)
)
)
=
e
−
i
x
i
−
e
i
x
−
i
2
i
=
sin
(
x
i
)
{\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}-e^{i\,x^{-i}}}{2i}}=\sin(x^{i})\!}
Karma bağıntılar Üslerin toplamına göre
e
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!}
e
−
i
x
=
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\!}
ve
e
e
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
+
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}
e
e
−
i
x
=
e
cos
x
[
cos
(
sin
(
x
)
)
−
i
sin
(
sin
(
x
)
)
]
{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
+
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
−
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
i
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
sonuç olarak
e
e
i
x
+
i
x
+
e
e
−
i
x
−
i
x
2
=
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}+e^{e^{-ix}-ix}}{2}}=e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
e
e
i
x
+
i
x
−
e
e
−
i
x
−
i
x
2
i
=
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}-e^{e^{-ix}-ix}}{2\,i}}=e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
elde edilir.
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
+
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
−
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
x
)
]
=
2
i
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
x
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}
ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
+
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
]
=
2
e
cos
(
x
)
(
cos
(
sin
(
x
)
+
y
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}
e
cos
x
[
e
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
−
e
−
i
(
sin
(
x
)
+
y
)
]
=
2
i
e
cos
(
x
)
(
sin
(
sin
(
x
)
+
y
)
{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}
Üslerin çarpımına göre Buradaki ifadeler
e
i
x
(
e
i
x
)
=
e
i
x
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
=
e
−
i
x
[
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}
veya
e
i
x
(
e
i
x
)
=
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
[
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
=
[
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
]
[
cos
(
x
)
−
i
sin
(
x
)
]
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}
eşitliğidir.
e
i
x
(
e
i
x
)
=
e
i
x
cos
(
x
)
−
x
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix\cos(x)-xsin(x)}\!}
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
=
e
−
i
x
cos
(
x
)
−
x
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix\cos(x)-xsin(x)}\!}
e
−
x
sin
(
x
)
cos
(
x
cos
(
x
)
)
=
e
i
x
(
e
i
x
)
+
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
2
=
cos
(
x
e
i
x
)
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\cos(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}+e^{-ix(e^{-ix})}}{2}}=\cos(xe^{ix})\!}
e
−
x
sin
(
x
)
sin
(
x
cos
(
x
)
)
=
e
i
x
(
e
i
x
)
−
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
2
i
=
sin
(
x
e
i
x
)
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\sin(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}-e^{-ix(e^{-ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{ix})\!}
x yerine -x konursa;
e
−
x
sin
(
x
)
(
−
sin
(
x
cos
(
x
)
)
)
=
e
−
i
x
(
e
−
i
x
)
−
e
i
x
(
e
i
x
)
2
i
=
sin
(
x
e
−
i
x
)
{\displaystyle e^{-x\sin(x)}{(-\sin(x\cos(x)))}={\frac {e^{-ix(e^{-ix})}-e^{ix(e^{ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{-ix})\!}
cos
(
x
e
i
x
)
+
sin
(
x
e
−
i
x
)
=
e
−
x
sin
(
x
)
[
cos
(
x
cos
(
x
)
)
−
sin
(
x
cos
(
x
)
)
]
{\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}
Bell sayıları ile ilgisi Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
x
n
=
e
e
x
−
1
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}
Ayrıca bakınız 
![{\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7c1c4216cfeefc4fc0bf69f0228fecea956c34)
![{\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5911e05be9fb3a813d3aae572f9284595e30dd5f)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f1fbff909dcc340d267924002f3b711141d4ee)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07b16b07a5f72e2ca911ff0002de35781a6f14a)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a169575966b677f231f88653bbf8575bb25b4c9)
![{\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d0330142786f45528e76dd055637c4f0ff91f5)
![{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59013f812794ee69025baeabd48a9c222200e876)
![{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d8a75689bb3478dac6f7c9557a8109d20ccbe2)
![{\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a12ab1bc944a4cdf6287ac825ca54a440a9b08e)
![{\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6287c7c71b069748c03087201be21a7b3c5fb952)
![{\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990484eb15c8d9ee7a2ac550f97673c33f031cd0)
