Euler doğrusu

Euler doğrusu, eşkenar olmayan üçgenlerde çevrel çember merkezinin, diklik merkezinin ve ağırlık merkezinin üstünde bulunduğu özel bir doğrudur. Bu üç noktanın doğrudaş olduğu bilgisi 1753 yılında yayımlanmıştır.^[1] Feuerbach çemberinin merkezi gibi bazı diğer özel noktalar da bu doğru üzerinde bulunur.

Özellikler

Temel teoremler

Eşkenar olmayan bir üçgende ağırlık merkezi G, diklik merkezi H ve çevrel çemberin merkezi O Euler doğrusu adında bir doğru üzerindedir. Dokuz nokta çemberinin merkezi olan N noktası halihazırda HO'nun orta noktası olduğu için bu nokta da bu doğru üzerindedir. Öte yandan bu dört nokta için şu denklemler de doğrudur:

|HO|=3|GO|=6|NG|, |HG|=4|NG|, |HN|=3|NG|, |NO|=3|NG| ve |GO|=2|NG|.

O halde şu vektörel denklemler de geçerlidir:^[1]

 ${\displaystyle 3{\vec {G}}={\vec {H}}+2{\vec {O}}}(Euler)$  ve  ${\displaystyle 3{\vec {G}}={\vec {O}}+2{\vec {N}}}(Feuerbach)$

İspat yolları

İspat için iki bilinen ispat fikri vardır:

G noktası merkez olmak üzere -1/2 orantısıyla homoteti yapılabilir.

Barycentric koordinatlar ve trigonometrik lemmalar yardımıyla cebirsel bir çözüm yapılabilir.

Özel durumlar

Eğer üçgen ikizkenar ise Euler doğrusu tepe noktasından geçen orta dikme, iç açıortay, dikme olur (bu durumda tüm bu doğrular çakışıktır). Eşkenar üçgenlerde ise tüm bu noktalar çakışacağı için böyle bir doğru yoktur.

Kaynakça

^ ^a ^b Koecher, Max; Krieg, Aloys (2009). Ebene Geometrie. Dritte, neu bearbeitete und erweiterte Auflage, korrigierter Nachdruck. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-49327-3.

[ReferenceA-1] Koecher, Max; Krieg, Aloys (2009). Ebene Geometrie. Dritte, neu bearbeitete und erweiterte Auflage, korrigierter Nachdruck. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-49327-3.

[1]