Dirac denklemi

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü (spinli) ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

$\gamma ^{\mu }p_{\mu }c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi }$

şeklinde ifade edilebilir. Burada;

m_0 : parçacığın durağan kütlesini,

c : ışık hızını,

$p_{\mu }$ : dörtmomentumu,

$\gamma ^{\mu }$ : Dirac matrislerini

göstermektedir. Ayrıca $\Psi$, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

$\Psi ={\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}$

Buradaki $\Psi ^{+}$ ve $\Psi ^{-}$, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. $\Psi ^{+}$ dönücüsü, pozitif enerjileri, $\Psi ^{-}$ negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

$\Psi ^{+}={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\end{bmatrix}}$

ve

$\Psi ^{-}={\begin{bmatrix}\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}$

olarak tanımlanır. $\psi$ yukarı dönü ve $\phi$ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

$\Psi ={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\\\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}$

şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde $\mu =0$ bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

$\gamma ^{0}p_{0}c\mathbf {\Psi } +\gamma ^{i}p_{i}c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi }$

biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&&I\\I&&0\end{bmatrix}}$

ve

$\gamma ^{i}={\begin{bmatrix}0&&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&&0\end{bmatrix}}$

olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

${\begin{bmatrix}0&&p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\\p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c&&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}=m_{0}c^{2}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}$

biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

$\left(p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{-}=m_{0}c^{2}\Psi ^{+}$

$\left(p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{+}=m_{0}c^{2}\Psi ^{-}$

Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:

$p_{0}^{2}c^{2}-p_{i}^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$

Burada $p_{0}c=E=mc^{2}$ ve $p_{i}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=|\mathbf {p} |^{2}$ olduğundan ifade,

$E^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$

şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:

$p_{\mu }\rightarrow p_{\mu }-{\frac {e}{c}}A_{\mu }$

denklem,

$\gamma ^{\mu }\left(p_{\mu }c-eA_{\mu }\right)\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi }$

biçimine gelir. Buradaki $A_{\mu }$, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.