Clifford cebiri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Matematikte, Clifford cebirleri birleşmeli cebirin bir tipidir.K-cebirleri olarak,bu gerçek sayılar, karmaşık sayılar, dördeyler ve birkaç birkaç öte-karmaşık sayı sistemlerinin genelleştirilimesidir.[1][2] Clifford cebrinin teorisi karesel formlar ve ortogonal dönüşümlerin teorisi ile yakından bağlantılıdır. Clifford cebirlerinin geometri, teorik fizik ve sayısal görüntü işleme alanlarının farklı önemli uygulamalarını içerir. İsmi ingiliz geometrici William Kingdon Clifford adına ithaf edilmişitir .

En bilindik Clifford cebri, veya ortogonal Clifford cebri, Riemannian Clifford cebri olarak da adlanırılır.[3]

Giriş ve temel özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Clifford cebri bir birimsel birleşmeli cebir içerir ve bir K alanı üzerinde bir V vektör uzayı ile üretilir, burada V bir kuadratik form Q ile donanımlıdır.Clifford cebri Cℓ(V, Q) durumu için V öznesi ile "serbest" cebir üretiyor [4]

için

burada sol üzerindeki çarpım ve burada 1 çarpım birimi dir

bir Clifford cebrinin tanımı bir "çıplak" K-cebri daha fazla yapı ile verilir: özellikle onun bir tasarımı var veya ayrıcalıklı alt uzay V için izomorfiktir.sadece Clifford cebrine izomorf verilen K-cebiri  böyle bir alt uzay genel içinde teklik belirleyemez.

Eğer temel alan K nin karakteristiği 2 değil, ise formu içinde bu temel denklik yazılabilir

için

burada

Q ile ilişkili simetrik çiftdoğrusal formdur ,polarizasyon denkliği yoluyla, "serbest" veya bu denklik için cebirsel öznelerin "en genel" olma fikri bir evrensel özelliğinin kavramı yoluyla aşağıdaki veri olarak resmi olarak ifade edilebilir.

Kuadratik formlar ve Clifford cebirler karakteristik 2 form içinde olağanüstü bir durumdur.Özel olarak, eğer char(K) = 2 bu doğru değilse bu kuadratik form bir simetrik çiftdoğrusal form ile belirlenir, veya söz konusu her karesel form bir ortogonal taban kabul eder.Bu yazıda birçok durumlar bu karaktersitik durum 2 içermez, ve eğer yanlış ise bu durum kaldırılır.

Dış cebirin bir nicemlemesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Clifford cebri dış cebirler ile yakın ilişkilidir. Aslında, eğer Q = 0 ise Clifford cebri Cℓ(V, Q) sadece dışsal cebir Λ(V)dır. sıfırsız Q için burada bir kurallı doğrusal izomorfizm var. Λ(V) ve Cℓ(V, Q) arasında olduğunda temel alan K karakteristik iki bulunmamaktadır. Şöyle ki, bu doğal izomorfik vektör uzaylar olarak, ama farklı çarpımlar (karakteristik ikinin durumu içinde, bu vektör uzayları olarak yine izomorfiktir, sadece doğal değildir) iledir.Ayrıcalıklı altuzay ile birlikte Clifford çarpımı kesinlikle daha zengin dışsal çarpımla Q tarafından ekstra bilgi sağlamanın yapımında kullanılır

Daha kesin bir ifadeyle, Clifford cebri dışsal cebirin nicemlemesi (bkz. Kuantum grup) olarak düşünülebilir, aynı mantıkla Weyl cebride simetrik cebirin bir nicemlemesidir.

Weyl cebri ve Clifford cebri bir *-cebirin bir başka yapısını kabul eder, ve bir süper cebirin çift ve tek terimleri olarak birleştirilebilir, CCR ve CAR cebirleri içinde tartışıldığı gibi .

Evrensel özellikler ve kurulum[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki V vektör uzayı bir K alanı üzerinde olsun, ve diyelimki çoğu durumda K ilgili alanının ya da R gerçek sayılar veya C karmaşık sayılar alanının veya bir sonlu alanın Q: VK V üzerinde bir karesel formları olsun;

Bir Clifford cebri Cℓ(V, Q) aşağıdaki evrensel özellikler ile birlikte tanımlanan tüm vV, için i(v)2 = Q(v)1nin karşıladığı i : VCℓ(V, Q) bir doğrusal gönderme ile birlikte K üzerinde bir birimsel birleşmeli cebirdir ve evrensel özellikler aşağıdaki gibi tanımlanıyor : K üzerinde verilen herhangi asosiyatif cebir A ve herhangi doğrusal gönderme j : VA böylece

j(v)2 = Q(v)1A tüm vV

için(burada 1A A nin ifadesi çarpım birimidir),burada bir teklik cebrik homomorfizmi f : Cℓ(V, Q) → A ve böylece aşağıdaki sırabağımsız diyagramı (yani böylece fi = j):

CliffordAlgebra-01.png

Q nun yerine j üzerinde gerekli bir simetrik çiftdoğrusal form <·,·> ile çalışılıyor (karakteristik içinde 2 değildir),

dir

Bir Clifford cebirinin yukarda tanımı her zaman var ve aşağıdaki gibi kurulabilir: ve alınan uygun bir bölüm ile temel denklik zorlanırsa V içeren en genel cebir ile yani T(V) tensör cebiri ile başlar T(V) içinde iki-yüzlü ideal IQ almak istediğimiz tüm bu durum içinde formun tüm ögeleri ile üretilir

tüm için

ve Cℓ(V, Q) bölüm cebri olarak tanımlanır

Cℓ(V, Q) = T(V)/IQ.

bu bölümde devralınan halka çarpım bu iç ve dış çarpımlardan farklılaştığı için bazen Clifford çarpımı[5] olarak adlandırılır.Bu Cℓ(V, Q) 'i göstermek ise basittir V içeren ve yukardaki evrensel özellik elde edilir, böylece Cℓ teklik bir teklik izomorfizmi kadardır;böylece Cℓ(V, Q)  Clifford cebrinin konuşmasıdır. Ayrıca bu kurulumdan aşağıda i birimseldir Genellikle i düşer ve Cℓ(V, Q) nin bir doğrusal altuzayı olarak V düşünülebilir

Cℓ(V, Q) nin kurulumunda gösterilen bu Clifford cebrinin evrensel karakterizasyonu doğal içinde funktoriyal'dir Yani, Cℓ vektör uzaylarının kategorisinden(Kendilerinin morfizmlerinin karesel formunu koruyan çizgisel haritalardır) birleşmeli cebirin kategorisi için kuadratik formlar ile birlikte bir funktor olarak düşünülebilir. Evrensel özelliklerin garantileri bu doğrusal göndermelerle vektör uzayları(karesel formunu koruyarak) arasında genişletilen cebir homomorfizmler için teklik ile birleşmeli Clifford cebri arasındadır.

Taban ve boyut[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer K üzerinde V nin boyutu n ve {e1, …, ve en} ve (V, Q) nun bir ortogonal tabanı , ise Cℓ(V, Q) bir taban ile K üzerinde serbesttir

.

Boş çarpım (k = 0) çarpımsal özdeş öge olarak tanımlamıyor. Burada k nin her değeri için taban ögeler n seç k dır , böylece Clifford cebrinin toplam boyutu

Bu bağlamda V bir karesel form ile donanım alır, burada ortogonal olanlar V için ayrıcalıklı tabanlarının bir kümesidir:Bir ortogonal taban şu şekildedir,

için , ve

burada Q için birleşmeli simetrik çiftdoğrusal formdur.Temel Clifford denkliği bir ortogonal taban için şöyle vurgulanır

için , ve

Bu ortogonal taban vektörleri manipülasyonu oldukça basittir.farkının verilen bir çarpımı V nin ortogonal taban vektörleri,dahil ederken bir standart düzen içine koyabilirsiniz.Bunu yapmak için (yani permutasyon sırasının işareti) ikili takaslarının sayısı ile belirlenen genel bir işaret gerekir

Örnekler: Gerçek ve karmaşık Clifford cebri[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha önemlisi Clifford cebirleri böylece gerçek ve karmaşık vektör uzayları üzerinde dejenere olmayan kuadratik formlar ile donanımlı vektör uzaylarıdır

Cp,q(R) ve Cn(C) cebirlerinin her bir çıkışı ,A veya AA,için izomorfiktir, burada A , R, C, veya H dan giriş ile bir tam matris halkasıdır Bu cebirlerin tam bir sınıflandırması için Clifford cebrinin sınıflandırılmasına bakınız

Gerçek sayılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Geometrik cebir

Gerçek Clifford cebrinin geometrik yorumlaması geometrik cebir olarak biliniyor

Sonlu-boyutlu reel vektör uzayda her dejenere olmayan karesel form standart diyagonal forma eşdeğerdir:

burada n = p + q vektör uzayının boyutudur. Tam sayıların çifti (p, q)ne karesel formun işareti denir.Gerçek vektör uzayı ile bu karesel form sıklıkla Rp, q.ile ifade edilir. Rp, q üzerinde Clifford cebri Cp, q(R) ile ifade ediliyor.Cn(R) sembolü ya Cn,0(R) veya C0,n(R) pozitif tanımlı veya negatif tanımlı uzayın yazar tercihine bağlı olup olmadığı anlamındadır.

Bir standard ortonormal taban {ei} Rp,q için n = p + q nın oluşturduğu karşılıklı olarak ortogonal vektörler ve bunların p norm +1 ve q norm −1'i var. Cebir Cp,q(R) nin bunun için +1 için p kare vektörleri ve −1 için q kare vektörleri var olacaktır

Unutmadan C0,0(R) is R için doğal izomorfik bağlamında burada sıfırsız olmayan vektörler C0,1(R) dir ve bir iki-boyutlu cebir bir tek vektör e1 ile üretiliyor ve −1 için bu kareler ve karmaşık sayıların alanı C izomorfiktir,C0,2(R) cebiri bir dört-boyutlu cebri {1, e1, e2, e1e2} ile gerer. −1 için üç kare öge sonrası ve tüm karşıtdeğişme, ve böylece cebir , dördeyler için H izomorfiktir C0,3(R) bir 8-boyutlu cebir izomorfik ve HH direkt toplamına ayrık-çiftdördeyler denir

Karmaşık sayılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir de karmaşık vektör uzaylarda Clifford cebirlerini inceleyebiliriz.Her dejenere olmayan bir karmaşık vektör uzayı üzerinde karesel form standard diyagonal form için eşdeğeri

burada n = dim V,izomorfizm kadardır. yani burada n her boyut için yalnızca tek dejenere olmayan Clifford cebridir. Cn(C) standard karesel form ile Cn üzerinde Clifford cebri ile ifade edilecek

İlk birkaç durumu hesaplamak zor değildir. şunlar bulunur

C0(C) ≅ C, karmaşık sayılar
C1(C) ≅ CC, çiftkarmaşık sayılar
C2(C) ≅ M(2, C), çiftdördeyler

burada M(n, C) C üzerinde n×n matrislerinin cebri ifadesidir

Örnekler:dördeylerin kurulumu ve ikili dördeyler[değiştir | kaynağı değiştir]

Dördeyler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu bölümde, Hamilton'un dördeyleri Clifford cebri C0,3(R) nin çift alt cebri olarak kuruluyor.

Diyelimki V vektör uzayı R3,üç boyutlu gerçek uzay olsun ve Q karesel form genellikle Öklid metrikten türetilir ise R3 içinde v, w için kuadratik form var, veya nokta çarpım,

v ve w vektörleri ile verilen Clifford çarpımını şimdi tanıtalım

Bu formülasyonu karşılayan negatif işaret kullanılıyor gibi dördeyler ile kolayca gösteriliyor.

R3 nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi as e1, e2, ve e3,olarak daha sonra çarpım R3 nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi olarak ifade edilen Clifford ilişkilerini verir

ve

Clifford cebrinin genel ögeleri C0,3(R) ile veriliyor

C0,3(R) nin çift kademeli ögelerinin doğrusal düzenlemesi olan çift alt cebri C00,3(R) ile tanımlanan genel öge

Temel ögeler i, j, k kuaterniyon tabanı ile tanımlanabilir,ögelerinin

olarak gösterilen bu C00,3(R) çift alt cebiri Hamilton'un gerçek kuaterniyon cebridir.

bunu göstermek için,hesap

ve

sonuç,

İkili dördeyler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu bölümde, ikili dördeyler dejenere bir kuadratik form ile gerçek dört boyutlu uzayın çift Clifford cebri olarak kurulmuştur.[6][7]

Diyelimki V vektör uzayı, R4 gerçek dört boyutlu uzay ve Q karesel form, R3 üzerinde Öklidyen metrikten elde edilen bir dejenere form olsun,v, w in R4 içinde v, w için dejenere çiftdoğrusal form şöyle tanımlanır

R3 üzerine yüzeyötesi R4 içinde bu dejenere skaler çarpım izdüşüm mesafe ölçümleri.

v ve w vektörerinin Clifford çarpımı ile veriliyor

Unutmadan eksi işareti dördeylerle yazışmaları basitleştirmek için tanıtıldı.

R4 nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi ifadesi olarak e1, e2, e3 ve e4, ise Clifford çarpımı ilişkileri elde edilir

ve

Clifford cebrinin Cℓ(R4,d) genel ögelerinin 16 bileşeni var. çift dereceli kademeli ögenin doğrusal kombinasyonu çift alt cebir C0(R4,d) genel öge

ile tanımlanır.Taban ögesi dördey taban ögeleri i, j, k ve ikili birim ε olarak denkleştirilebilir

Bu yazışma C00,3,1(R) çift dördey ile cebir C00,3,1(R) yi sağlar.

Bunu görmek için, hesap

ve

e1 ve e4 nin değişikliği zamanın bir çift sayı alterne işareti, ve çift birim ε ile gösterilir ve dördey taban ögeler i, j, ve k ile sırabağımsızdır

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış cebirle ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Verilen bir vektör uzayı V ile yalnızca dış cebir Λ(V) ile kurulabilir, V herhangi bir ikinci derece biçiminden bağımsızdır.Burdan çıkıyor ki K karakteristik 2 daha sonra orada olmadığında bir doğal izomorfizm Λ(V) ve Cℓ(V, Q) arasında vektör alanları olarak düşünülebilir (burada natura olmayabilir karakteristik iki izomorfizma, var). ancak ve ancak Q = 0 ise bu bir cebir izomorfizmasıdır .Q üzerine bağlı bir çarpma ile V üzerinde dış cebirin bir zenginliği olarak böylece Clifford cebiriCℓ(V, Q)(veya daha doğrusu, bir nicemleme, bakınız,giriş) düşünebiliriz(hala Q dış çarpımı bağımsız tanımlanabilir).

Q izomorfizm kurmak için kolay yol V için seçilen bir ortogonal taban {ei} içindir ve onu bir tabana uzatmak için Cℓ(V, Q) olarak yukarda tanımlanıyor.Cℓ(V, Q) → Λ(V) eşlemesi ile belirlenir

unutmayın eğer bu {ei} tabanı ortogonal ise çalışır. bunun bir eşleme olduğu gösterilebilir ve ortogonal taban  seçimi bağımsızdır ve bu yüzden bir doğal izomorfizm veriyor.

Eğer K nın karakteristiği 0 ise,ve bir de antisimetrileştirme ile izomorfizm kurulabilir fk: V × … × VCℓ(V, Q) fonksiyonunun tanımı ile

burada toplam k elemanları üzerinde simetrik grup üzerinden alınır. Bu bağlamda fk alternatif olarak bu bir teklik doğrusal eşleme Λk(V) → Cℓ(V, Q) uyarır.Bunun direkt toplamı eşlemeleri Λ(V) ve Cℓ(V, Q) doğrusal bir eşleme arasında veriliyor . Bu eşlemenin  doğrusal  izomorfizm olduğu gösterilmiştir ve bu doğaldır.

Ilişkiyi görmenin daha sofistike bir yolu Cℓ(V, Q) üzerinde bir filtreleme kurulumu içindir. Hatırlanacağı gibi tensör cebiri T(V) nin bir dogal süzmesi var: F0F1F2 ⊂ … burada Fk derece k ile tensörlerin toplamını içerir. Clifford cebri bu aşağı izdüşümü Cℓ(V, Q) üzerinde bir süzme ile veriliyor.birleşimli dereceli cebir

dir.Λ(V) dış cebri için doğal izomorfiktir.Bu bağlamda süzülmüş bir cebir her zaman süzülmüş vektör alanları olarak süzülmüş cebir için izomorfunun asosise kademe cebirdir (tüm k için Fk+1 içinde Fk nın tamamlayıcılarını seçerek ),herhangi bir karakteristik içinde(doğal olmamasına rağmen) bu iki çift bir izomorfizm sağlar.

Sınıflandırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdakinde, varsayalımki karakteristik 2.[8] değildir.

Clifford cebri Z2-kademeli cebir (ayrıca supercebir olarak biliniyor). Yani, V üzerinde doğrusal gönderme v ↦ −v (başlangıç yardımıyla yansıma) ile tanımlanıyor.Q karesel formu korunur ve böylece bir cebir otomorfizmi için Clifford cebri uzantılarının evrensel özellikleri ile

α: Cℓ(V, Q) → Cℓ(V, Q).

bağlamında α bir karmaşadır(yani. o denklik için kareler) α' nın pozitif ve negatif özdeğerleri içinde Cℓ(V, Q) ayrışabilir..

burada Ci(V, Q) = {xCℓ(V, Q) | α(x) = (−1)ix}. Bu bağlamda α bir otomorfizmdir,bu aşağıda şöyledir

Bu üst-indis modulo 2 okunur,bir Z2-kademe cebirinin kurulumu Cℓ(V, Q) veriliyor. Altuzay Cℓ(V, Q),nin bir altcebir formuna çift altcebir denir.Altuzay C1(V, Q) Cℓ(V, Q) (bu bir altcebir değildir).nin çift kısım olarak adlandırılır.Bu Z2-kademe analizde ve Clifford cebiri uygulamasında önemli bir rol oynar. α otomorfizme ana sönme veya kademeli sönme denir. Bu ögelerin bu Z2-kademe içinde saf sadece çift veya tek olduğu söyleniyor.

Açıklama.karakteristikteCℓ(V, Q) nin 2 değildir vektör uzayı altında Λ(V) [9] dışsal cebirin vektör uzayı altında yer alan kurallı izomorfizmden bir N-kademe ve bir Z-kademe devralıyor. Buna dikkat etmek önemlidir, bununla beraber, işte bu bir yalnızca vektör uzayı kademesidir. Şöyle ki, Clifford çarpımı N-kademe veya Z-kademe sıralı değildir, yalnızca Z2-kademe: örneğin eğer Q(v) ≠ 0, ise vC1(V, Q), ama v2C0(V, Q), C2(V, Q) içinde değildir. Ne mutlu ki, dereceleri doğal şekilde ilişkilidir: Z2N/2NZ/2Z. daha fazla, the Clifford cebri Z-filtrelenmiştir: Ci(V, Q) ⋅ Cj(V, Q) ⊂ Ci+j(V, Q). Bir Clifford sayısının derecesi genellikle N-kademe içinde derecesine değinmektedir .

Bir Clifford cebrinin çift altcebiri C0(V, Q) bir Clifford cebri için kendine izomorfiktir.[10][11] Eğer V bir vektörünün ortogonal direkt toplamı bir Q(a) normunun bir vektörünün ortogonal direkt toplamı ve bir U altuzayı ise C0(V, Q) ,Cℓ(U, −Q(a)Q) için izomorfiktir burada −Q(a)Q , Q formu U ile sınırlanıyor ve −Q(a) ile çarpılıyor.Özellikle bu vurgu üzerine gerçekler şöyledir

q > 0 için ve
p > 0 için

negatif-tanım durumu içinde bu verilen bir C0,n−1(R) ⊂ C0,n(R) içermesi bu diziyi genişletir

RCHHH ⊂ …;

aynı şekilde,yalnız karmaşık durum içinde gösterilebilirki Cn(C) nin çift altcebri Cn−1(C) için izomorfiktir

Antiotomorfizmler[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada ek otomorfizm α için bu iki anti-otomorfizmler Clifford cebrinin analizi içinde önemli bir rol oynar. Tensor cebri T(V) nden hatırlanacağı gibi birlikte alınan tüm çarpımlar içinde antiotomorfizmin bu derecesi tersine çevrilir :

bağlamında ideal IQ bu terslik altında değişmezdir, Cℓ(V, Q) nun bu inen işlem bir antiotomorfizmine bir devrik veya tersine işlem denir, xt ile ifade edilir.Devrik bir antiotomorfizm: (xy)t = yt xt.dir. Devrik işlem Z2-kademenin hiçbiri kullanılmaz, böylece α düzenlemesi ve devrik ile ikinci bir antiotomorfizm olarak tanımlanıyor,bu Cliffort birleşme işlemi olarak adlandırılır

İki antiotomorfizmlerin, devriği daha temeldir.[12]

Unutmadan bu tüm işlemlerin sönmeleridir,ögelerin üzerinde ±1 olarak hareket ettikleri görülebilir bu Z-kademe içinde saftır.Aslında, her üç işlem derecesi sadece modulo 4'e bağlıdır. İşte bu, eğer x saf k derece ile ise

burada işaretler aşağıdaki tablo ile veriliyor:

k mod 4 0 1 2 3
+ + (−1)k
+ + (−1)k(k−1)/2
+ + (−1)k(k+1)/2

Clifford skaler çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer karakteristik 2 değil ise, V üzerinde karesel form Q Cℓ(V, Q) (bu ayrıca Q ile ifade edilir)'nun hepsi üzerinde bir karesel form için genişletilebilir. Böyle bir uzantısının bir baz bağımsız tanımı

burada ⟨birbir (Z-kademe içinde parça kademe 0)ın skaler parçası ifadesidir.Yalnız gösterilebilir ki

burada vi 'V nin ögeleridir– bu denklik Cℓ(V, Q).nun keyfi ögeleri için doğru değildir.

birleşmeli simetrik çiftdoğrusal form on Cℓ(V, Q) üzerinde birleşmeli simetrik çiftdoğrusal form şöyle veriliyor

Yalnız V için kısıtlı olduğunda bu orijinal çiftdoğrusal form için bu indirgemeyi  kontrol edebilirsiniz. Çiftdoğrusal form on all of Cℓ(V, Q) nun tüm üzerindeki dejenere olmayan ancak ve ancak eğer V üzerinde ayrışmayandır

Bu devriği doğrulamak için zor değildir bu iç çarpıma göre sol/sağ Clifford çarpımının ekidir.Şöyle ki,

ve

Clifford cebrinin yapısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu bölümde biz vektör uzayı Vnin sonlu boyutlu ve Q nun çiftdoğrusal formunun tekil-olmadigini K üzerinde bir merkezi basit cebirin (sonlu boyutlu) bir bölüm cebri üzerinden K merkez ile bir matris cebiri oldugunu varsayiyoruz.Örneğin, gerçekler üzerinde merkezi basit cebir ya gerçekler veya kuaterniyonların üzerinde  matris cebirleridir.

  • Eğer V çift boyut Cℓ(V, Q) var ise K üzerinde bir merkezi basit cebirdir
  • Eğer V çift boyut C0(V, Q) var ise Knın bir karesel uzantısı üzerinde merkezi bir basit cebiri veya K üzerinde iki izomorfik merkezi basit cebirin bir toplamıdır
  • Eğer V tek boyut Cℓ(V, Q) var ise K nın bir karesel uzantısı üzerinde merkezi bir basit cebir veya K üzerinde izomorfik bir merkezi basit cebirin bir toplamıdır
  • Eğer V tek boyut C0(V, Q) var ise K üzerinde bir merkezi basit cebirdir

Clifford cebiri yapısı aşağıdaki sonucu kullanılarak açıkça dışarı geçirilebilir. U için varsayalımki çift boyut var ve diskriminant d ile tekil-olmayan bir çift boyut var ve varsayalım V bir karesel form ile diğer vektör uzayıdır.U+V nin Clifford cebri U nun Clifford cebirlerinin tensör çarpımı (−1)dim(U)/2dV için izomorfiktir ve bu (−1)dim(U)/2d ile çarpılan V uzayı ile birlikte karesel formdur,gerçekler üzerinde,şu özellikler vurgulanır

Bu formüller tüm gerçek Clifford cebiri ve tüm karmaşık Clifford cebiri yapısını bulmak için kullanılabilir;Clifford cebirlerinin sııflandırılmasına bakınız

özellikle,bir Clifford cebrinin Morita eşdeğeri sınıfı (onun gösterim teorisi: bunun üzerine modül kategorisinin denklik sınıfı) yalnızca (pq) mod 8 işareti üzerinde bağımlıdır. Bu Bott periyodisitesinin bir cebrik formudur.

Clifford grup[değiştir | kaynağı değiştir]

Clifford gruplarının sınıfı Rudolf Lipschitz tarafından araştırıldı.[13]

Bu bölümde varsayalımki V sonlu boyutludur ve karesel form Q dejenere olmayandır

tersinebilir ögelerin grubu ile bir Clifford cebrinin ögeleri üzerinde bir hareket bükümlü bir birleşmenin terimleri içinde tanımlanabilir: x ile bükümlü birleşim yx y α(x)−1, eşlemeleri ile burada α ana büzülme yukarıda tanımlanıyor

Clifford grup Γ tersinebilir ögelerin kümesi olarak tanımlanıyor x işte bu hareket, altında stabilize vektörler v nin V içinde bunun tüm anlamı, elimizde olan:

Bu formül ayrıca V vektör uzay üzerinde tanımlanan Clifford grubunun bir hareketi norm Q koruyor ve böylece ortogonal grup için Clifford gruptan bir homomorfizm veriliyor. Clifford grubu, sıfırdan farklı norm V nin tüm r unsurlarını içerir, ve burada yansımalar karşılığı ile V üzerine hareket şu v2v,rr/Q(r) için v alınıyor.(Karakteristik 2 de bu yansımalar oldukça daha ortogonal transveksiyonlar denir.)

Clifford grup Γ, Γ0 ve Γ1 altkümelerinin ayrık birliğidir.iki altkümelerini burada Γi , i. derecenin ögelerinin altkümesidir Γ0 alt kümesi Γ içinde indis'in bir alt grubudur

Eğer V kesin pozitif (veya kesin negatif ) kuadratik formu ile bir sonlu boyutlu reel vektör uzayı ise Clifford grup biçimine göre V ortogonal grup üzerine eşleşir (Cartan–Dieudonné teoremi ile) ve Çekirdek alan K sıfırdan farklı unsurdan oluşur.Bu tam diziler için açılan yol

Diğer alanlar üzerinde veya tanımsız formlarla, gönderme genel üzerinde değildir, ve hatalı spinor norm tarafından kapılır.

Spinor norm[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi: Spinor_norm#Galois_kohomoloji_ve_ortogonal_gruplar

Keyfi karakteristik, spinor normun Q Clifford grup üzerinde tanımlanması ise

Bu K nın sıfır olmayanın K* grubu için Clifford grubundan bir homomorfizmdir.Eğer V Clifford cebri bir altuzay ile özdeşleşmişse bu V nin Q kuadratik formu çakışır. Bazı yazarlar biraz farklı spinor normu tanımlayabiliyor, böylece −1, 2, veya −2 veya Γ1 nin bir faktörü ile burada tek fark karakteristik 2'den başkası çok daha önemli değildir.

K nın sıfırsız ögeleri K alanının sıfırsız ögelerinin karelerinin K*2 grubu içinde spinor normları var.Böylece V eğer sonlu boyutlu ve tekil-olmayan K*/K*2 ise V 'nin grubu için ortogonal gruptan verilen bir uyarıya ayrıca spinor normu denir,r bir vektörün yansımasının spinor normu K*/K*2 içinde Q(r) görüntüsü var ve bu teklik özelliği onu ortogonal grup üzerinde tanımlıyor,onun tam dizilimleridir:

Unutmadan karakteristik 2 içinde grup {±1}in sadece tek ögesi vardı.

cebrik grupların Galois kohomolojisinin bakışı açısından,spinor norm kohomoloji üzerine bir bağlantılı homomorfizmidir. 1'in karekökünün cebrik grubu için μ2 yazılıyor (karakteristiğin bir alanı üzerinde 2 değildir bu önemsiz Galois hareketi ile kabaca aynı bir iki-ögeli gruptur), kısa tam dizi

kohomoloji uzun bir tam dizisi vermektedir,ki başlangıcı

K içindeki katsayılar ile bir cebrik grubun 0.ıncı Galois kohomoloji grubu sadece K-değerli noktaların grubudur: H0(G; K) = G(K), ve H12; K) ≅ K*/K*2, önceki sırayı kurtarır ki

burada spinor norm H0(OV; K) → H12; K) bağlantı homomorfizmidir.

Spin ve Pin grupları[değiştir | kaynağı değiştir]

Spin grup,Pin grup ve spinor

Bu bölümde varsayimimiz V sonlu boyutludur ve bu çift dogrusal form tekil-olmayandir. (Eğer K karakteristik 2 idiyse bu V 'nin boyutunun çift olduğunu vurgular.)

Pin grup PinV(K) 1 ± spinor normun elemanlarının Clifford grup Γ bir alt grubudur, ve benzer Spin grup SpinV(K) , PinV(K) içinde Dickson değişmezi 0'ın ögelerinin altgrubudur

Karakteristik, 2 olmadığında,bu belirleyici 1 unsurlarıdır. genellikle Spin grup Pin grubunda indis 2 içinde vardır.

Clifford grubundan bir homomorfizmanın ortogonal grubu üzerine olduğunu önceki bölümden hatırlayın.Özel ortogonal grup Γ0.nın görüntüsü olarak tanımlıyoruz K karakteristik 2 yoksa.Bu belirleyici 1 ortogonal grubunun elemanlarının sadece bir grubudur.K karakteristiğe 2'ye sahip değilse ortogonal grubun tüm unsurlarının belirleyicisi 1 var, ve ortogonal grup Dickson değişmezi 0 elemanlarının kümesidir.

Ortogonal gruba Pin grubundan bir homomorfizm bulunmaktadır. The image consists of the elements of spinor norm 1 ∈ K*/K*2. +1 ve−1,ögelerinin oluşturduğu çekirdek ve K 2.derece olmadıkça karakteristik 2.var Benzer şekilde burada V 'nin özel bir ortogonal grubuna göre Spin grubundan bir homomorfizmdir.

yaygın durumda iken V gerçekler üzerinde pozitif ya da negatif kesin bir alandır, spin grubu,özel ortogonal grubunun üzerine eşleşir, ve eğer V nin 3 ten az boyutu var ise basit bağlantıdır.Bundan başka, bu homomorfizmanın çekirdeği 1 ve -1den oluşur.Yani bu durumda spin grubu, Spin(n), SO(n) nin bir çift örtüğüdür. ancak dikkat edin, Spin grubun basit bağlılığı genel olarak doğru değildir: Eğer V p ve q her ikisi için Rp,q ,2 den az ise spin grup basit bağlı değildir. Bu durumda cebirsel grup Spinp,q basit gerçek değerli noktalarından olan grubu Spinp,q(R) basit bağlantılı olsa bile, bir cebirsel grup olarak bağlanır. Bu tamamen spin grupları hakkında en azından bir standart kitabın yazarların karıştırdığı, oldukça ince bir noktadır.

Spinorlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu durumda cebirsel grup Spinp,q(R) sadece gerçek değerli noktalarından olan grubu Spinp, q (R) basit bağlantılı olsa bile, bir cebirsel grup olarak bağlanır.Spinorlar Clifford cebri Cp,q(C), ile p+q=2n çift, burada 2n.boyutlu matris cebrinin karmaşık bir gösterimi var.Pinp,q(R) grup için sınırlama ile aynı boyutun Pin grup bir karmaşık gösterimini alıyoruz, spin gösterimi denir. Eğer spin grup için bu sınırlı Spinp,q(R) ise bu 2n−1 boyutun iki yarı spin gösterimleri (veya Weyl gösterimleri)in toplamı olarak ayrıktırlar

Eğer p+q=2n+1 , tek ise Clifford cebri Cp,q(C), iki matris cebrinin bir toplamı ise, bunun her 2n,boyutlunun bir gösterimi var ve burada Pin grup Pinp,q(R) nin ayrıca her iki gösterimleridir.spin grup Spinp,q(R) için sınır üzerinde bu olan izomorfiktir, böylece spin grup 2n boyutlunun bir karmaşık spinor gösterimi var

Daha geneli, spinor gruplar ve pin gruplar üzerinde herhangi alan Clifford cebri karşılığının yapısı üzerinde bağlı tam yapılar olan benzer gösterimler var: her ne zaman bir Clifford cebri bir faktörü olan bazı bölüm cebri üzerinde bir matris cebridir, bu bölme cebri üzerinde pin ve spin grupların bir karşılık gösterimini alıyoruz,gerçekler üzerinde örnekler için  spinorlerle ilgili makaleye bakın.

Gerçek spinorlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi: spinor

Gerçek Spin gösterimleri açıklamak için, bir spin grubun Clifford cebiri içinde nasıl oturduğunu bilmeniz gerekir.Pin grup, Pinp,q ,Cp, q içinde tersinebilir ögelerin bir kümesidir,bu birim vektörlerin bir çarpımı olarak yazılabilir:

Clifford cebiri yukarıdaki somut gerçekleşmeleri ile karşılaştırıldığında,Pin grubu,keyfi olarak birçok yansımaların çarpımlarına karşılık gelir: Bu tam ortogonal grup O(p, q) bir örtüsüdür. Pinp, q nun böyle ögelerini oluşturan Spin grup bu birim vektörlerinin bir çift sayının çarpımıdır. Böylece Cartan-Dieudonné teoremi ile Spin SO(p,q) uygun dönmelerinin grubunun bir örtüğüdür

Diyelimki α : Cℓ → Cℓ otomorfizm olsun bu v ↦ −v göndermeleri ile veriliyor saf vektörler üzerinde hareket ediyor.Özel olarak ise, Spinp,q ,Pinp, q nun altgrubu böylece α ögeleri ile sabitleniyor.Diyelimki

(Bu Cp, q.içinde çift derecenin ögeleri tamdır) ise spin grup C0p, q.ile birlikte yer alır

Cp, q nin indirgenemez gösterimleri pin grubun verilen gösterimi için sınırdır. Tersine olarak, pin grup bağlamında birim vektörler ile üretiliyor.onun indirgenemez temsilinin hepsi bu şekilde uyarılır.Böylece iki temsiller çakışacak. Aynı nedenlerle, spin indirgenemez temsiller C0p, q indirgenemez temsilleri ile çakışacak

Pim gösterimleri sınıflandırmak için, bir ihtiyaç sadece Clifford cebrinin sınıflandırması çağırıyoruz..(çift alt cebirin ifadesidir) Spin gösterimleri bulmak için, bir ilk izomorfizmlerden  yararlanabilir (yukarıya bakınız)

C0p,qCp,q−1, for q > 0
C0p,qCq,p−1, for p > 0

ve işaret içinde gerçeklenen bir spin gösterim bir pin olarak (p,q) ya (p,q−1) veya (q,p−1) işareti içinde gösterilir.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Diferansiyel geometri[değiştir | kaynağı değiştir]

Dışsal cebirin temel uygulamalarının biri burada diferansiyel geometri içinde bir düzgün manifold üzerinde diferansiyel formların demet tanımı için kullanılıyor. Bir (pseudo-)Riemannian manifoldu durumunun, uyarılmış bir doğal kuadratik form ile donanımı tanjant uzaylar metrik iledir . Böylece, dışsal demet ile aynı analojide olan bir Clifford demeti ile tanımlanıyor.Riemannian geometride önemli uygulamaların numarası vardır Belki de daha önemlisi bir spin manifoldla bağlantıdır,ve bu spinor demet ilişkisi spinc manifoldlarıdır.

Fizik[değiştir | kaynağı değiştir]

Clifford cebrinin fizikte çok sayıda önemli uygulamaları var. Fizikçiler genellikle bir Clifford cebri düşünüldüğünde γ0,…,γ3 olan matrisleri ile bir cebrik germe denilen Dirac matrislerinin şu özellikler var

burada η (1,3) işaretinin karesel bir formunun matrisidir. Bu tam Clifford cebri C1,3(C) (2 nin önemsiz bir faktörü kadar ) için ilişkiler tanımlanıyor, bununla Clifford cebrinin sınıflandırması 4 e 4 karmaşık matrislerin cebri için izomorfiktir.

Dirac matrisleri Paul Dirac tarafından ilk yazılı idi,o elektron için bir göreli ilk-derece dalga denklemi yazılması için denendi, ve karmaşık matris cebrine Clifford cebri bir açık izomorfizma verir.Sonuç olarak Dirac denklemi tanımı ve Dirac işlemci tanıtımı için kullanıldı.Tüm Clifford cebri Dirac alanı çiftdoğrusallarının formu içinde kuantum alan teorisi içinde gösteriliyor.

Clifford cebrinin kullanımı kuantum teori tanıtımı için diğerleri yanı sıra Mario Schönberg ile ilerledi,[14] geometrik hesapının terimleri içinde David Hestenes ile,David Bohm tarafından ve Basil Hiley ve bir Clifford cebrinin hiyerarşisinin bir formu içinde eş-çalışması, ve Elio Conte ve ark ile.[15][16]

Bilgisayarlı görme[değiştir | kaynağı değiştir]

Yenilerde, Clifford cebirleri eylem tanıma probleminin ve bilgisayarlı görme içinde sınıflandırma uygulaması var. Rodriguez et al.[17] bir Clifford gömmesinde video için (3D uzay-zaman hacmi) genelleştirilmiş geleneksel MACH filtreleri önerdi, ve optik akış gibi veri vektör değerlidir.Vektör değerli veri Clifford Fourier dönüşümü kullanılarak analiz edilir.Bu vektörler üzerinde tabanlı eylem filtreleri Clifford Fourier domeninde sentezlenir ve eylemlerin tanınması Clifford Korelasyonu kullanılarak yapılır. Yazarlar genellikle televizyon yayını klasik metrajlı film ve sporda gerçekleştirilen eylemleri tanımada Clifford gömme etkinliğini göstermektedir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381-395
  2. ^ W. K. Clifford, Mathematical Papers, (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.
  3. ^ see for ex. Z. Oziewicz, Sz. Sitarczyk: Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras. In: Artibano Micali, Roger Boudet, Jacques Helmstetter (eds.): Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1623-1, 1992, p. 83
  4. ^ Mathematicians who work with real Clifford algebras and prefer positive definite quadratic forms (özellikle indis teorisi içinde böyle çalışıyor) sometimes use bir farklı işaretinin seçimi in the temel Clifford denkliği içinde. That is, they take v2 = −Q(v). One must replace Q with −Q in going from one convention to the other.
  5. ^ Lounesto 2001, §1.8.
  6. ^ J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics, pp. 62–5, MIT Press 1990.
  7. ^ O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland Publ. Co., 1979
  8. ^ Thus the grup cebri K[Z/2] is yarıbasit and the Clifford algebra splits into eigenspaces of the main involution.
  9. ^ The Z-grading is obtained from the N grading by appending copies of the zero subspace indexed with the negative integers.
  10. ^ Technically, it does not have the full structure of a Clifford algebra without a designated vector subspace.
  11. ^ We are still assuming that the characteristic is not 2.
  12. ^ The opposite is true when using the alternate (−) sign convention for Clifford cebri için (-) isareti : it is the conjugate which is more important. In general, the meanings of conjugation and transpose are interchanged when passing from one sign convention to the other. For example, in the convention used here the inverse of a vector is given by v−1 = vt / Q(v) while in the (−) convention it is given by v−1 = v / Q(v).
  13. ^ Lounesto 2001, §17.2.
  14. ^ See the references to Schönberg's papers of 1956 and 1957 as described in section "The Grassmann–Schönberg algebra " of:A. O. Bolivar, Classical limit of fermions in phase space, J. Math. Phys. 42, 4020 (2001) DOI:10.1063/1.1386411
  15. ^ Conte, Elio (2002). A Quantum Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics. . Proceedings Fundamental problems of Sciences, 271-304, S. Petersburg 2002: 271-304. arΧiv: [1] [quant-ph]. http://arxiv.org/abs/0711.2260v1. Erişim tarihi: 3 March 2014. 
  16. ^ Elio Conte: On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations? Adv. Studies Theor. Phys., vol. 6, no. 26 (2012), pp. 1289–1307
  17. ^ Rodriguez, Mikel; Shah, M (2008). "Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification". Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]