Cauchy yakınsaklık testi

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir.

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$

serisi ancak ve ancak şu koşulda yakınsaktır:

Her $\varepsilon >0$ için bir N$\in \mathbb {N}$ sayısı varsa öyle ki

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

ifadesi $n>N$ olan tüm $n$ 'ler ve $p\geq 1$ için tutsun.

Bu testin çalışmasında bir sakınca yoktur çünkü seriler ancak ve ancak kısmi toplamları yani

$s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

bir Cauchy dizisiyse yakınsaktır. Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her $\varepsilon >0$ için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için

$|s_{m}-s_{n}|<\varepsilon$

sağlanır.

m > n varsayabiliriz ve bu yüzden p = m - n olarak alabiliriz. Seri ise ancak ve ancak

$|s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

ise yakınsaktır.

Ayrıca bakınız

• Seri (matematik)
• Yakınsak seriler

Bu makale PlanetMath'deki Yakınsaklık için Cauchy ölçütü maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.