Cartan biçimciliği (fizik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Bu sayfa Cartan biçimciliğinin uygulamaları kapsamaktadır.Genel konular için Cartan bağlanısına bakınız.

Vierbein veya dörtlü teorisi teoretik fizikte çokça kullanılan manifoldun dört boyutu içinde Cartan bağlantısıın uygulamalarının bir özel durumudur. Bu herhangi bir işaretin metriklere uygulamasıdır.(Bakınız metrik tensör.) Bu kesit dörtlülere bir yaklaşımdır,. ama 4'ten öte boyutlar içinde genel terimler içinde yazılıyor, üçlü, beşli, zweibein, fünfbein, elfbein Vielbein vs. sözcükler gibi kullanımı var tüm boyutları kapsayan Vielbein. (Almancada, vier yerine dört ve viel yerine çok.)

bir taban-bağımlı indis gösterimi, bakınız dörtlü(indis gösterimi).

Taban malzemeleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Varsayalımki n boyutun bir M diferansiyel manifoldu üzerinde çalışıyoruz, ve doğal sayılar p ve q ile sabitlensin

p + q = n.

Dahası, varsayalımki verilen bir SO(p, q) M üzerinde B temel demeti ve SO(pq)nin doğal n-boyutlu gösteriminin araçları ile B ye ilişik bir V SO(pq)-vektör demetidir. Eşdeğeri, bir metrik η ile işareti(p, q) (aka dejenere olmayan karesel form) donanımı ile [1] V M üzerinde bir n rank gerçek vektör demetidir.

Cartan biçimiliğinin temel bileşeni bir tersinebilir doğrusal gönderimdir , M üzerinde burada vektör demetleri arasında TM M in tanjant demetidir.e üzerinde tersinebilir durum bazen düşmüştür.Özel olarak eğer B önemsiz demet ise,her zaman yerel olarak varsayabiliriz, V ortogonal kesitlerin bir tabanı var . sırasıyla bu taban bir sabit matristir.M üzerinde yerel koordinatların bir seçimi için (negatif indisler indislerinin etiketlenmesinden yalnızca ayırmak içindir) ve bir yerel çerçeveye karşı gelir.Tanjant demetinin , gönderimi e temel kesitlerin görüntüsü ile belirlenir

Bunu bir (koordinat olmayan) tanjant demetin bir tabanı (karşılanan e tersinebilir ve eğer B yalnızca yerel ise yalnızca yerel önemsizleştirmedir) belirleyebilir.Matris dörtlü, vierbein, vielbein vs. olarak adlandırılır.

Yerel bir çerçeve olarak yorumlanmasının önemi yerel bazların kapalı seçimine bağlıdır.

Unutmadan tanjant demetin temel demeti bir izomorfizm çerçeve demetin bir indirgemesi ile verilir.Genelde, böyle bir indirgeme topolojik nedenler için olasıdır. Böylece, genelde e sürekli göndermesi için, M in bazı noktalarında bu e kaçınılmaz olarak bozunmuş alınır.

Örnek: genel görelilik[değiştir | kaynağı değiştir]

metrik tensör alanı kullanmanın yerine bir dörtlü alan terimleri içindeki genel görelilik içindeki geometrileri tanımlayabiliriz. metrik tensörün doğrudan tanjant uzayı içinde iç çarpım şöyle veriliyor

dörtlüsü iç çarpımı korunan bu Minkowski uzayına tanjant uzaydan bir (doğrusal) gönderme olarak görülebilir. Bu Minkowski uzayı içine bizim iki vektör gönderme ile ve orada her zamanki iç çarpımı alarak tanjant uzayda iç çarpımı bulmamızı sağlar:

Burada ve aralığı tanjant-uzay koordinatları üzerinde,iken ve aralığı Minkowski koordinatları üzerindedir.Dörtlü alan geri çekme yoluyla tensör alanın bir metriği olarak tanımlanıyor.

Yapımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir (yalancı-)Riemannyen metrik e ile η'in geriçekmesi olarak M üzerinde tanımlanır .Diğer bir deyişle içine koyacak, eğer elimizde TM nin iki kesiti var ise, X ve Y,

g(X,Y) = η(e(X), e(Y)).

Bir V üzerindeki bağlantı A teklik bağlantısı olarak tanımlanan şu iki durum için yeterlidir:

  • dη(a,b) = η(dAa,b) + η(a,dAb) tüm diferansiyellenebilir kesitler için V nin a ve bsi(yani dAη = 0) burada dA eşdeğişken dış türevdir.Bu A vurgusu SO(p,q) temel demet üzerinde bir bağlantıya genişletilebilir.
  • dAe = 0.Sol taraftaki miktarı torsiyon denir.Bu temel durumlar torsiyon-serbest olarak tanımlanır.Einstein-Cartan teorisi içinde bu durum düşürüldüğünde,ama bundan sonra A tekliği tanımlanamaz.

Buna spin bağlantı denir.

Unutmadan elimizde özel olarak A var, TM nin X tüm diferansiyellenebilir kesitleri için izomorfizm e:

e(∇X) = dAe(X) yoluyla TM üzerinde bir ∇ bağlantısı tanımlamaya kullanabiliriz

Ve yine burada şimdi elimizde bir SO(p,q) ölçek teorisi var,F eğriliği olarak tanımlanan ölçek eşdeğişken noktasaldır. Bu bir farklı form içinde basit Riemann eğrilik tensörüdür.

ω olarak A bağlantı formu bir karşıt bir gösterimi Ω olarak F eğilik formu θ olarak yerleşik vektör-değerli 1-form e, ve dış eşdeğişken türev  D olarak yazılır.

Palatini hareketi[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel göreliliğin dörtlü formülasyonu içinde,hareket, vierbein e'nin bir fonsiyoneli olarak ve bir bağlantı formu dayanıklı bir ilişik alan ile, diferansiyellenebilir manifold M in bir dört-boyutu üzerinde aşağıdaki ile veriliyor

burada ölçüm eğriliği 2-formdur, antisimetrik Levi-Civita sembolü, ve şu 'nin determinantıdır.Burada biz normal Einstein–Hilbert hareketinin diferansiyel form dilinin yolaçtığı buna bir eşdeğer hareketine bakıyoruz, ilişkisi kullanılıyor ve .Unutmadan,son terim tüm SI birim faktörlerine uydurulursa Planck kütlesinin terimleri içinde, bizim kümemiz .

Unutmadan spinor alanının varlığı içinde,Palatini hareketi şu vurgusu sıfır olmayandır. Böylece burada bir sıfır-olmayan torsiyon, yani şu . Einstein-Cartan teorisine bakınız.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ bir Spin(pq) temel spin demete indirgenerek kullanılan yapının bir değişkeni. Bu, η metrik ile birlikte V demetinden daha fazla bilgi içeren temel demet,bu spinoriyel alanların inşasını gerektirir.

Şablon:Tensors