Carathéodory metriği

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte,Carathéodory metriği bir metrik ve bir karmaşık Banach uzayının açık birim top üzerinde tanımlanan hiperbolik geometri'nin Poincaré metriğine çok benzer özellikleri var. İsmi Greek matematisyen Constantin Carathéodory'ye ithafendir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki (X, || ||) bir karmaşık Banach uzayı olsun ve Xiçinde açık birim top diyelim B olsun. diyelimki karmaşık düzlem C içinde açık birim disk Δ olsun, 2-boyutlu gerçek/1-boyutlu karmaşık hiperbolik geometri için Poincaré disk modeli olarak düşünülür. Diyelimki Δ üzerinde Poincaré metrik ρ olsun aşağıdaki ile verilen

\rho (a, b) = \tanh^{-1} \frac{| a - b |}{|1 - \bar{a} b |}

(böylece eğriye sabitlenmiş −4 olsun).O zaman B üzerinde d Carathéodory metriği ile tanımlanan


d (x, y) = \sup \{ \rho (f(x), f(y)) | f : B \to \Delta \mbox{holomorfiktir} \}.

Bir Banach uzayı üzerinde bir fonksiyon için holomorfik olarak sonsuz boyutlu holomorfi üzerinde yazılar içinde tanımlanıyor.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • B içindeki herhangi bir x noktası için,
d(0, x) = \rho(0, \| x \|).
  • d ayrıca aşağıdaki formül ile verilebilir, bunun Erhard Schmidte atfedilen Carathéodory:
d(x, y) = \sup \left\{ \left. 2 \tanh^{-1} \left\| \frac{f(x) - f(y)}{2} \right\| \right| f : B \to \Delta \mbox{holomorfiktir} \right\}
  • B içinde tüm a ve b içinde,
\| a - b \| \leq 2 \tanh \frac{d(a, b)}{2}, \qquad \qquad (1)
ancak ve ancak ya a = b eşitliği ile veya burada bir sınır doğrusal fonksiyonel var ℓ ∈ X böylece ||ℓ|| = 1, ℓ(a + b) = 0 ve
\rho (\ell (a), \ell (b)) = d(a, b).
Dahası, herhangi ℓ ye uyan burada üç durum var |ℓ(a − b)| = ||a − b||.
  • Ayrıca, burada (1) eğer ||a|| = ||b|| içinde eşittir ve ||a − b|| = ||a|| + ||b||.yapmak için tek yol bu b = −a alınmayladır.


  • Eğer burada bu X içinde bir birim vektör u var ise X içinde kapalı birim topun bir uç noktasıdeğildir., öyleyse burada B içinde a ve b noktaları var böylece burada (1) ama b ≠ ±a içinde eşittir


Bir tanjant vektörün Carathéodory uzunluğu[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada B topuna tanjant vektörler için Carathéodory uzunluğunun bir ilişkili gösterimidir. Diyelimki x Bnin bir noktası olsun ve diyelimki v,xdan B 'ye bir tanjant vektör; buradan B , X vektör uzayı içinde birim açık toptur, TxB tanjant uzayı, doğal bir yol içinde X ile özdeşleştirilebilir, ve v X'ın bir ögesi olarak düşünülebilir-ki böyleyse xdan v'nin Carathéodory uzunluğu,α(xv) ile ifade edilir ve tanımı

\alpha (x, v) = \sup \big\{ | \mathrm{D} f(x) v | \big| f : B \to \Delta \mbox{holomorfiktir} \big\}.

o zaman x = 0 eşitliği ile gösterebilir ki α(xv) ≥ ||v||,

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Earle, Clifford J. and Harris, Lawrence A. and Hubbard, John H. and Mitra, Sudeb (2003). "Schwarz's lemma and the Kobayashi and Carathéodory pseudometrics on complex Banach manifolds". Komori, Y., Markovic, V. and Series, C. (eds). Kleinian groups and hyperbolic 3-manifolds (Warwick, 2001). London Math. Soc. Lecture Note Ser. 299. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ss. 363–384.