Bohr-Mollerup teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Bohr-Mollerup teoremi, Matematiksel analiz'de adını danimarkalı matematikçi Harald Bohr ve Johannes Mollerup'tan almıştır.

Bu teorem x > 0 için Gama fonksiyonu'nun, karakterizasyonu'nu tanımlar

sade fonksiyon ƒ için x > 0 açık aralığında ardı ardına üç özellik

  • ve
  • ve
  • logaritmik konveks'dir.

Bu teoremin seçkin açıklaması Artin'in kitabı The Gamma Fonksiyon 'un yeniden basımı bir AMS koleksiyonudur ve Artin tarafından kaleme alınmıştır

İlk baskı Karmaşık analiz içindeydi, ve Bohr ve Mollerup izniyle basılmıştı.

Kanıtı[değiştir | kaynağı değiştir]

Teoremin ifadesi[değiştir | kaynağı değiştir]

karşılayan tek fonksiyon ile ve ayrıca .için konvekstir.

Kanıtı[değiştir | kaynağı değiştir]

yardımıyla,yukarda kabul edilen özelliklere bağlı olarak kurulan fonksiyon
ve konvekstir ve

Aslında gerçeğinden şunu kurabiliriz.


ve bu sonuçtan hareketle

ifadesi doğal sonucudur bu özellikle tamsayılara uygulanarak aşağıdaki sonuca varabiliriz.

ise

ve eğer yoksa... yani bizim bağıntımız

olmak üzere
tüm değerleri için aşağıdaki ve iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin hesabı olmak üzere monoton olarak arttığı için konveks fonksiyon ile onun doğal öngörüsüden dolayı konveks olduğunu biliyoruz

Böyle bir limit varlığı veya yakınsama gibi çeşitli şeyleri kanıtlamak için ortak bir analiz tekniğidir. Şimdi biz bu fonksiyonu geri çağırıyoruz ve her ikisi monoton artandır . Bu, iki ifade arasında sıkışmış olan fonksiyon son satırından bellidir ve . biz bu özelliği eşitsizlikte kullanırsak devamla:

Son satırı güçlü bir ifadedir. Özelde, bütün değerler için de geçerlidir. nın herhangi bir değeri seçimi için sağ tarafta daha küçük ve aynı şekilde, nın herhangi bir diğer tercihi için sol tarafta daha büyük olmasıdır. Her bir eşitsizlik yalnız bir durum ve bağımsız bir ifade olarak yorumlanabilir bir durumdur. bu nedenle RHS ve LHS'yi farklı -n-değerleri için seçmekte özgürüz. Özellikle, LHS için RHS için seçiminde tutarsak.

Bu son iki ifadeyi birleştirirsek


şimdi olarak alınırsa. sağ yan eşitliğe giderken sol yan eşitsizliğe gider. devamlı sıkıştırılırsa, ifadesinin tek anlamı olabilir,eşitlik 'ya gider. Bu ispat bağlamında 'ya ait belirtilen üç özellik idi. Ayrıca kanıt için belirli bir ifade sağlar Ve ispatın son kritik bölümünde bir dizinin limiti benzersiz olduğu hatırdan çıkarılmamalıdır Bu demektir ki herhangi bir seçim için , sadece bir sayı bulunabilir Burada fonksiyonun tüm özelliklerine sahip başka bir fonksiyon yoktur.

ispat sorusunun teorem varsayımı kalan diğer ucudur herkes için mantıklı burada bulunmaktadır. Problem bizim ilk çift eşitsizliğimizdedir.

için kısıtlama konmuştur. öğleyse, monoton artan yapmak isteniyor, daha sonra eğer söyleniyorsa,olması isteniyorsa oluşturulan tüm kanıt eşitsizliğin çelişmesi üzerinedir ama

dikkat edilmelidir.

ilk olarak gösterilen 'ın bütün değerleri için 'ın buradaki limit tanımlıdır.

Referanslar[değiştir | kaynağı değiştir]