Blaschke–Lebesgue teoremi

Reuleaux üçgeni, alanı aynı genişliğe sahip tüm dışbükey kümeler arasında minimum olan sabit genişlikte bir eğri

Düzlem geometride Blaschke–Lebesgue teoremi, Reuleaux üçgeninin verilen sabit genişlikte tüm eğrilerin en küçük alanına sahip olduğunu belirtir. Belirli bir genişliğe sahip her eğrinin en az Reuleaux üçgeni kadar geniş bir alana sahip olması, Blaschke-Lebesgue eşitsizliği olarak da bilinir. Adını, 20. yüzyılın başlarında teoremi ayrı ayrı yayımlayan Wilhelm Blaschke ve Henri Lebesgue'den almıştır.

Açıklama

Öklid düzleminde $K$ dışbükey kümesinin genişliği, onu çevreleyen herhangi iki paralel çizgi arasındaki minimum mesafe olarak tanımlanır. İki minimum mesafe çizgisinin her ikisi de zorunlu olarak $K$'ya zıt taraflarda teğet olan doğrulardır. Sabit genişlikte bir eğri, paralel çizgilerin her yönü için, eğrinin zıt taraflarına teğet olan bu yöndeki iki teğet çizginin genişliğe eşit mesafede olması özelliğine sahip bir dışbükey kümenin sınırıdır. Bu eğriler, hem çemberi hem de her biri diğer iki çemberin kesişme noktasında ortalanmış üç eşit yarıçaplı daireden oluşan yaylardan oluşan eğri bir üçgen olan Reuleaux üçgenini içerir. Genişliği $w$ olan bir Reuleaux üçgeni ile çevrili alan aşağıdaki şekilde hesaplanır:

${\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})w^{2}\approx 0,70477w^{2}.$

Blaschke – Lebesgue teoremi, bunun sabit genişlikte bir eğrinin benzersiz minimum alanı olduğunu belirtir ve Blaschke – Lebesgue eşitsizliği, $w$ genişlikli her dışbükey kümenin en azından bu büyüklükte bir alana sahip olduğunu, yalnızca küme bir Reuleaux üçgeni ile sınırlandığında eşitlik sağlandığını belirtir.

Tarihçe

Blaschke–Lebesgue teoremi bağımsız olarak 1914'te Henri Lebesgue ve 1915'te Wilhelm Blaschke tarafından yayınlandı. Çalışmalarından bu yana, birkaç başka kanıt da yayınlandı.

Diğer düzlemlerde

Aynı teorem hiperbolik düzlem için de geçerlidir. Düzlemdeki herhangi bir dışbükey mesafe fonksiyonu için (herhangi bir norm için noktaların vektör farkının normu olarak tanımlanan bir mesafe), sabit genişlikteki minimum alan eğrisi, her biri diğer ikisinin sınır noktasında ortalanmış olan üç metrik diskin bir kesişimi olduğuna göre benzer bir teorem geçerlidir.

Uygulama

Bir amiral battı oyunu tahtası

Blaschke–Lebesgue teoremi, bir oyuncunun tam sayı ızgarasını bir dışbükey kümeyle ve diğer oyuncunun üzerinde bir nokta bulduktan sonra kesişerek oluşturduğu bir gemiye sahip olduğu ve rakibin gemisinin yerini mümkün olan en az kaçırılan atışla belirlemeyi hedefleyen Amiral Battı (Battleship) oyununun genelleştirilmesi için etkili bir strateji sağlamak için kullanılmıştır. Bir gemi için $n$ ızgara noktaları, kaçırılan vuruşların sayısını $O(\log \log n)$ ile sınırlamak mümkündür.

İlgili problemler

İzoperimetrik eşitsizliğe göre, en geniş alana sahip Öklid düzlemindeki sabit genişliğin eğrisi bir çemberdir. Şeklinden bağımsız olarak $w$ sabit genişlikte bir eğrinin çevresi $\pi w$'dir; bu Barbier teoremidir.

Üç boyutlu uzayda sabit genişliğe sahip hangi yüzeylerin minimum hacme sahip olduğu bilinmemektedir. Bonnesen ve Fenchel, 1934'te, minimize edicilerin bir Reuleaux tetrahedronun bazı kenarlarının yuvarlatılmasıyla elde edilen iki Meissner gövdesi olduğunu varsaydılar, ancak bu kanıtlanmadı.

Dış bağlantılar

• Curves and Surfaces of Constant Width 23 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Konuyla ilgili yayınlar

• Shengliang Pan, Deyan Zhang & Zhongjun Chao, (2016), ‘’ A generalization of the Blaschke-Lebesgue Problem to a kind of convex domains’’, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, Volume 21, Number 5, July 2016, ss. 1587-1601, doi:10.3934/dcdsb.2016012, Makale 13 Ağustos 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Loïc Crombez, Guilherme D. da Fonseca & Université Clermont A, (2012), Efficient Algorithms for Battleship, Makale