Bir Lie cebrinin ek temsili

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Şablon:Lie groups

matematik'te, eslenik içbiçim veya eslenik hareket Lie cebiri'nin teorisinin geliştirilmesinde temel bir rol oynayan bu Lie cebiri'nin bir özbiçimidir.

Bir Lie cebirinin verilen bir ögesi x ve x'ın ek hareketi haritası ile ile ek gösterim tanımlanır.

içindeki bütün y için.

kavramı bir Lie grubunun ek gösterimi'yle yakından ilişkidir . Aslında,çıkan tam diferansiyel olarak grubunun eş ögesidir .

Ek gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer bir Lie cebri üzerinde k bir alan ise doğrusal gönderim

ile verilen bir Lie grubunun ek gösterimi'dir ve cebrin ek gösterim'i olarak adlandırılır. ( gerçek görüntü içinde yatıyor Aşağıya bakınız.)

,içinde Lie braketi'dir tanımı, iki operatörün değişmelisi tarafından verilir:

burada doğrusal haritaların düzenli ifadesidir. Eğer sonlu boyutlu, ise ile 'ye izomorfiktir. genel doğrusal grup'un Lie cebri üzerinde vektör uzayı ve eğer onun seçilen bir tabanı ,ise matris çarpımı'na karşılık düzendir.

Lie braket'inin yukardaki tanımı kullanılarak,Jacobi özdeşliği

formunu alir.burada x, y, ve z nin keyfi ögeleridir .

Bu son özdeşlige ad gerçek bir Lie cebri eşbiçimidir denir; yani bir doğrusal gönderme alınan braketlere brakettir.

bu yapı modül-teorietik dilde, sade bir dille söylersek bu kendi üzerinde bir modüldür.

merkezinin tanımıyla nin çekirdeğidir.Sonuç olarak, görüntüsünü düşünelim. Hatırlayın bir Lie cebri olarak bir türevi bir doğrusal gönderim'dir bu Leibniz' kuralına uyar yani, x' ların hepsi ve cebir içindeki y için .

Bu adx in bir türevidir,Jacobi özdeşliğinin bir kanıtıdır. ifadesinin ad altındaki görüntüsü nin bir alt cebiridir .nin bütün türevlerinin uzayıdır

Yapı sabiti[değiştir | kaynağı değiştir]

Ek gösterimin kapalı matris ögesi cebrin yapı sabiti tarafından verilir. Bu, diyelimki {ei} cebir için bir taban vektörler'in kümesi olsun,bununla

ise matris ögeleri için yapı sabiti adei tarafından verilir

Böylece örneğin su(2)'nun ek gösterimi so(3)'ün tanımını sağlar.

Ad'ye bağlantı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ad ve ad üstel gönderim yoluyla bağlıdır; kabaca, Ad = exp ad, burada Ad bir Lie grubu için ek gösterim'dir .

Tam olarak, diyelimki G bir Lie grubu olsun, ve diyelimki gönderim olsun ile iç özbiçim tarafından verilir

O bir Lie grup gönderimin bir örneğidir. tanımı olsun türevinin kökeni:

burada d diferansiyeldir ve TeG tanjant uzay orijini e (e ,Ggurubunun eş elementidir)dir.

G nin Lie cebri dir.Dolayısıyla , bir harita G den Aut(TeG)ye olacak bir türev TeG den End(TeG) ( Aut(V)'nin Lie cebri End(V))dir.

Böyleyse

üst-durum/alt-durum gösterim kullanımı da literatürde yaygın olarak kullanılır Böylece örneğin,cebrin içindeki bir vektör x , cebri G grubu içindeki bir vektör alanı X üretir . Benzer şekilde ek haritalama içindeki vektörlerin adxy=[x,y] Lie türevi'ne homomorfiktir vektör alanı LXY =[X,Y] 'nin G grubu bir manifold olarak düşünülür

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]