beta fonksiyonunun kontür çizimi
Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi
Matematik 'te, beta fonksiyonu , Euler integrali 'nin ilk türüdür,
Re
(
x
)
,
Re
(
y
)
>
0.
{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}
için bu özel fonksiyon 'unun tanımı
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}
Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre 'ye adandı.
Özellikler
Beta fonksiyonu simetrik 'tir, yani
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}
yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır:
B
(
x
)
=
Γ
(
x
)
2
Γ
(
2
x
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x)={\dfrac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}\!}
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}
Burada
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
gama fonksiyonu 'dur.
özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,
Γ
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
.
B
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \mathrm {B} (1/2)=\pi }
.
Kartezyen Koordinatlar 'daki n-küre hacminin türevleri 'ne uygulanabilir .
Sadece tamsayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel 'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Ayrıca her
n
{\displaystyle n}
tamsayısı için,
B
{\displaystyle \mathrm {B} \,}
'nın
k
{\displaystyle k}
sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli
(
n
k
)
=
(
−
1
)
n
n
!
sin
(
π
k
)
π
∏
i
=
0
n
(
k
−
i
)
.
{\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
İlk kez Gabriele Veneziano , sicim teorisi 'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.
Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki
Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
∫
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv.\!}
Şimdi,
u
≡
a
2
{\displaystyle u\equiv a^{2}}
,
v
≡
b
2
{\displaystyle v\equiv b^{2}}
,yazalım,böylece
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
∞
e
−
a
2
a
2
x
−
1
d
a
∫
0
∞
e
−
b
2
b
2
y
−
1
d
b
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
(
a
2
+
b
2
)
|
a
|
2
x
−
1
|
b
|
2
y
−
1
d
a
d
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db.\end{aligned}}\!}
Kutupsal koordinatlara dönüşümü
a
=
r
cos
θ
{\displaystyle a=r\cos \theta }
,
b
=
r
sin
θ
{\displaystyle b=r\sin \theta }
:
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
e
−
r
2
|
r
cos
θ
|
2
x
−
1
|
r
sin
θ
|
2
y
−
1
r
d
r
d
θ
=
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
x
+
2
y
−
2
r
d
r
∫
0
2
π
|
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
|
d
θ
=
1
2
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
(
x
+
y
−
1
)
d
(
r
2
)
4
∫
0
π
/
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
2
∫
0
π
/
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}
Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa
f
(
u
)
:=
e
−
u
u
x
−
1
1
R
+
{\displaystyle f(u):=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}
and
g
(
u
)
:=
e
−
u
u
y
−
1
1
R
+
{\displaystyle g(u):=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}
, sonuç kolayca:
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
(
∫
R
f
(
u
)
d
u
)
(
∫
R
g
(
u
)
d
u
)
=
∫
R
(
f
∗
g
)
(
u
)
d
u
=
B
(
x
,
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\left(\int _{\mathbb {R} }f(u)du\right)\left(\int _{\mathbb {R} }g(u)du\right)=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y)}
.
Türevleri
türevleri sırasıyla:
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
burada
ψ
(
x
)
{\displaystyle \ \psi (x)}
digama fonksiyonu 'dur.
Integralleri
Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .
Yaklaşıklıklar
Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı 'nı verir.
x büyük y büyük ise,
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
2
y
y
−
1
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}
diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
Tamamlanmamış beta fonksiyonu
Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diger sinirinin açik olmasi demektir.
Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.
Tanımı
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır..
düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
a ve b tamsayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
Binom dağılımı 'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir
ve burada :
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1).}
Özellikler
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}
(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)
Ayrıca bakınız
Kaynakça
Şablon:Dlmf
M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
Beta fonksiyonu , PlanetMath.org .
Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site , Evaluate Beta Regularized Incomplete beta
Dış bağlantılar