Bessel–Clifford fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Matematiksel analiz'deBessel–Clifford fonksiyonu, Friedrich Bessel ve William Kingdon Clifford anısına atfetdilen iki kompleks değişken'li bir Tam fonksiyondur. Bu teori Bessel fonksiyonuna alternatif bir gelişme temin etmek için kullanılabilir.

ise

ters Gama fonksiyonu vasıtası ile tam fonksiyonu ile tanımlanabilir,daha sonra Bessel-Clifford fonksiyon serisi tanımlandı

z/k (n + k),ardışık terimlerin oranı z nin tüm değerleri için ve artan  k ilen sıfıra gitme eğilimindedir. oran testi ile bu seri tüm z ve  n için kesinlikle yakınsaktır, düzgün |z|'nin sınırlı olan tüm bölgeleri için düzgündür ve bunun sonucu olarak Bessel–Clifford fonksiyonu iki karmaşık değişkenn ve  z bir tam fonksiyondur .

Bessel-Clifford fonksiyonunun diferansiyel denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

yukarıdaki seriden sırasıyla x ve diferansiyeli aşağıdaki doğrusal ikinci derece homojen diferansiyel denklem'ini karşılar.

Bu denklem, genelleştirilmiş hipergeometrik tip olup aslında Bessel–Clifford fonksiyonu Pochhammer–Barnes hipergeometrik fonksiyonu'nun bir ölçeklendirme faktörü kadardır;

n negatif olmadığı sürece,bu durumda sağ taraftaki tanımsızdır, İki tanım esasen eşittir; böylece z = 0 değerinde normalize edilen hipergeometrik fonksiyonu tektir.

Bessel fonksiyonları ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel–Clifford fonksiyonu birinci tür Bessel fonksiyonu açısından tanımlanabilir.

Eğer n tamsayı değilse biz Bessel fonksiyonunun tam olmadığından sözedebiliriz. Benzer biçimde, birinci tür modifiye Bessel fonksiyonundada tanımlanabilir.

prosedür tabii ki tersine çevrilebilir,böylece Bessel–Clifford fonksiyonu tanımlanabilir,

Birinci tür Bessel–Clifford fonksiyonu açısından tanımlanabilir;

tam idi.

Bessel fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Hemen bu takiple tanımlanan seriden

'yi yerine kullanarak diferansiyel denklemi düzeltip yazmak istersek

bu formül için

Bessel–Clifford fonksiyonu için tekrarlama ilişkisini tanımlar,sub>0F1 için bu eşitlikteki benzer bir ilişkidir.Gauss sürekli kesri'nin özel bir durumudur.

Bu sürekli kesrin her durumda yakınsak olduğu gösterilebilir.

İkinci türden Bessel-Clifford fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

İki lineer bağımsız çözümü vardır,diferansiyel denklemin bir düzgün tekil noktası orijindedir, ve tam olduğundan,İkinci çözüm başlangıç ​​noktasında tekil olmalıdır. Bizim yapı

için yakınsak,ve analitik devamlıdır,bu diferansiyel denklem için ikinci bir lineer bağımsız çözüm elde edilebilir.. ifadesine 1/2 faktorü eklenerek yerleştirilir,ikinci türden Bessel fonksiyonlarına karşılık gelir. Elimizde olan

ve

terimler içinde K da var;

Bu nedenle tıpkı birinci tür Bessel fonksiyonu her iki cinsindende ifade edilebilir ve modifiye Bessel fonksiyonu her iki cinsindende ifade edilebilir.

Üreteç fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

exp(t) için mutlak yakınsak seri ile çarparsak ve exp(z/t) birlikte,(eğer t sıfır değilse) mutlak yakınsak seri ile exp(t + z/t)serisini alırsak, t ortak termdir, için Biz kuvvet serileri tanımı ile karşılaştırma bulabiliriz. Şu var

Bu üreteç fonksiyonu sonra daha fazla formülleri elde etmek için kullanılabilir,özellikle de kullandığımız Cauchy integral formülü ve tamsayı n için olarak elde edilir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Clifford, William Kingdon (1882), "On Bessel's Functions", Mathematical Papers (London): 346–349 .
  • Greenhill, A. George (1919), "The Bessel–Clifford function, and its applications", Philosophical Magazine Sixth Series: 501–528 .
  • Legendre, Adrien-Marie (1802), Éléments de Géometrie, Note IV, Paris .
  • Schläfli, Ludwig (1868), "Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati", Annali di Matematica Pura ed Applicata 2 (I): 232–242 .
  • Watson, G. N. (1944), A Treatise on the Theory of Bessel Functions (Second bas.), Cambridge: Cambridge University Press .
  • Wallisser, Rolf (2000), "On Lambert's proof of the irrationality of π", Halter-Koch, Franz; Tichy, Robert F., Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Berlin: Walter de Gruyer, ISBN 3-11-016304-7 .