Büyüklük (matematik)

Matematikte, bir matematiksel nesnenin büyüklüğü, nesnenin aynı türden diğer nesnelerden daha büyük mü yoksa daha küçük mü olduğunu belirleyen bir özelliktir. Daha resmi bir ifadeyle, bir nesnenin büyüklüğü, ait olduğu nesneler sınıfının bir sıralamasının (veya derecelendirmesinin) görüntülenen sonucudur. Bir kavram olarak büyüklük, Antik Yunan'a kadar uzanır ve bir nesneden diğerine olan mesafenin bir ölçüsü olarak uygulanmıştır. Sayılar söz konusu olduğunda, bir sayının mutlak değeri, genellikle o sayı ile sıfır arasındaki birimlerin ölçüsü olarak uygulanır.

Vektör uzaylarında, Öklid normu, uzaydaki iki nokta arasındaki mesafeyi tanımlamak için kullanılan bir büyüklük ölçüsüdür. Fizikte, büyüklük nicelik veya mesafe (uzaklık) olarak tanımlanabilir. Bir büyüklük mertebesi, tipik olarak ondalık ölçekte bir sayı ile diğerinin sayısal basamakları arasındaki uzaklık birimi olarak tanımlanır.

Tarihçe

Antik Yunanlar, aşağıdakiler dahil olmak üzere çeşitli büyüklük türlerini ayırt etmişlerdir:^[1]

Pozitif kesirler
Doğru parçaları (uzunluğa göre sıralanmış)
Düzlem şekilleri (alana göre sıralanmış)
Katı cisimler (hacme göre sıralanmış)
Açılar (açısal büyüklüğe göre sıralanmış)

İlk ikisinin aynı olamayacağını, hatta eşyapılı büyüklük sistemleri bile olamayacağını kanıtladılar.^[2] Negatif büyüklükleri anlamlı kabul etmediler ve büyüklük günümüzde hâlâ öncelikli olarak sıfırın ya en küçük boyut olduğu ya da tüm olası boyutlardan daha küçük olduğu bağlamlarda kullanılmaktadır.

Sayılar

Herhangi bir $x$ sayısının büyüklüğü genellikle o sayının mutlak değeri veya modülü olarak adlandırılır ve $|x|$ ile gösterilir.^[3]

Reel sayılar

Bir reel sayı r'nin mutlak değeri şu şekilde tanımlanır:^[4]

\left|r\right|=r,{\text{ eğer }}r{\text{ ≥ }}0

\left|r\right|=-r,{\text{ eğer }}r<0.

Mutlak değer, sayının reel sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan mesafesi olarak da düşünülebilir. Örneğin, hem 70'in hem de −70'in mutlak değeri 70'tir.

Karmaşık sayılar

Bir karmaşık sayı z, karmaşık düzlem adı verilen bir 2 boyutlu uzayda bir P noktasının konumu olarak görülebilir. $z$ 'nin mutlak değeri (veya modülü), P'nin o uzayın başlangıç noktasına (orijin) olan uzaklığı olarak düşünülebilir. z = a + bi'nin mutlak değeri formülü, 2 boyutlu bir Öklid uzayındaki bir vektörün Öklid normu formülüne benzerdir:^[5]

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

burada a ve b reel sayıları, sırasıyla z'nin gerçek kısmı ve sanal kısmıdır. Örneğin, −3 + 4i'nin modülü ${\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5$ 'tir. Alternatif olarak, z karmaşık sayısının büyüklüğü, kendisi ile karmaşık eşleniği ${\bar {z}}$ 'nin çarpımının karekökü olarak tanımlanabilir; burada herhangi bir $z=a+bi$ karmaşık sayısı için karmaşık eşlenik ${\bar {z}}=a-bi$ 'dir.

\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

(burada $i^{2}=-1$ ).

Vektör uzayları

Öklid vektör uzayı

Bir Öklid vektörü, bir Öklid uzayındaki bir P noktasının konumunu temsil eder. Geometrik olarak, uzayın başlangıç noktasından (vektör başlangıcı) o noktaya (vektör ucu) uzanan bir ok olarak tanımlanabilir.

Matematiksel olarak, n-boyutlu bir Öklid uzayındaki bir $x$ vektörü, n adet reel sayının sıralı bir listesi (P'nin Kartezyen koordinatları) olarak tanımlanabilir: x = [x₁, x₂, ..., x_n]. Bu vektörün $\|x\|$ ile gösterilen büyüklüğü veya uzunluğu,^[6] en yaygın olarak Öklid normu (veya Öklid uzunluğu) şeklinde tanımlanır:^[7]

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.

Örneğin, 3 boyutlu bir uzayda [3, 4, 12]'nin büyüklüğü 13'tür çünkü ${\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.$ Bu, vektörün kendisiyle olan nokta çarpımının kareköküne eşdeğerdir:

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.

Bir vektörün Öklid normu, Öklid uzaklığının sadece özel bir durumudur: vektörün başlangıç noktası ile uç noktası arasındaki uzaklıktır. Bir x vektörünün Öklid normu için iki benzer gösterim kullanılır:

$\left\|\mathbf {x} \right\|,$
$\left|\mathbf {x} \right|.$

İkinci gösterimin bir dezavantajı, skalerlerin mutlak değerini ve matrislerin determinantlarını belirtmek için de kullanılmasıdır, bu da bir belirsizlik durumu yaratır.

Normlu vektör uzayları

Tanım gereği, tüm Öklid vektörlerinin bir büyüklüğü vardır (yukarıya bakınız). Ancak, soyut bir vektör uzayındaki bir vektör bir büyüklüğe sahip değildir. Öklid uzayı gibi bir norm ile donatılmış bir vektör uzayı, normlu vektör uzayı olarak adlandırılır.^[8] Normlu bir vektör uzayındaki bir v vektörünün normu, v'nin büyüklüğü olarak kabul edilebilir.

Sözde Öklid uzayı

Bir sözde Öklid uzayında (pseudo-Euclidean space), bir vektörün büyüklüğü, o vektör için kuadratik formun değeridir.

Logaritmik büyüklükler

Büyüklükleri karşılaştırırken genellikle bir logaritmik ölçek kullanılır. Örnekler arasında bir sesin gürlüğü (desibel cinsinden ölçülür), bir yıldızın parlaklığı ve deprem şiddetinin Richter ölçeği bulunur. Logaritmik büyüklükler negatif olabilir. Doğa bilimlerinde, logaritmik bir büyüklük tipik olarak bir düzey (level) olarak adlandırılır.

Büyüklük mertebesi

Büyüklük mertebeleri, sayısal niceliklerdeki (genellikle ölçümlerdeki) farkları 10 katı ile ifade eder; yani ondalık noktanın konumunda bir basamaklık bir fark anlamına gelir.

Diğer matematiksel ölçüler

Matematiğin bir alt dalı olana analizde ölçü bir kümeye ve bu kümenin uygun altkümelerine negatif olmayan bir genişletilmiş sayı atayan bir fonksiyondur. Ölçü kavramı, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının sistemli bir genellemesidir. Önemli ölçü örneklerinden birisi $n$ -boyutlu Öklid uzayı $R n$ 'nin uygun alt kümelerine Öklid geometrisindeki geleneksel uzunluk, alan ve hacim gibi kavramlarına karşılık gelen sayıları atayan Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki $[0, 1]$ aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur; diğer deyişle, $[0, 1]$ aralığının ölçüsü 1'dir.

Ölçülerin fonksiyonların integrallerinin alınması ile yakından ilgisi vardır ve Lebesgue integrali gibi modern integral kavramlarının temelini oluştururlar. Ölçülerin oluşturulması, özellikleri ve ölçülere göre integral almayı konu edinen matematik kuramına ölçü kuramı veya ölçü teorisi denir.^[9]

Teknik olarak, ölçü, bir $X$ kümesinin (belirli) alt kümelerine negatif olmayan bir gerçel sayı veya $+\infty$ atayan bir fonksiyondur (aşağıdaki Tanıma bakınız). Ayrıca sayılabilir şekilde toplanır olmalıdır: Sonlu (veya sayılabilir olarak sonsuz) sayıda "daha küçük" ayrık alt kümelere ayrıştırılabilen "büyük" bir alt kümenin ölçüsü, bu "daha küçük" alt kümelerin ölçülerinin toplamına eşittir. Genel olarak, bir ölçünün diğer aksiyomlarını yerine getirirken belirli bir kümenin her bir alt kümesiyle tutarlı bir boyutu ilişkilendirilmek istenirse, yalnızca sayma ölçüsü gibi önemsiz örnekler bulunur. Bu problem, ölçüsü bir $σ$ -cebir oluşturmak için gerekli olan ölçülebilir alt kümeler olarak adlandırılan, yalnızca tüm alt kümelerin bir alt koleksiyonu üzerinde tanımlayarak çözüldü. Bu, sayılabilir birliklerin, sayılabilir kesişimlerin ve ölçülebilir alt kümelerin tamamlayıcılarının ölçülebilir olduğu anlamına gelir. Üzerinde Lebesgue ölçüsünün tutarlı bir şekilde tanımlanamadığı bir Öklid uzayındaki ölçülemeyen kümeler, tamamlayıcıları ile kötü bir şekilde karıştırılma anlamında zorunlu olarak karmaşıktır.^[10] Aslında onların varlığı, seçim aksiyomunun en az bir değişkeni sıfırdan farklı olan (non-trivial) bir sonucudur.

Ölçüm teorisi, 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında diğerlerinin yanı sıra Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon ve Maurice Fréchet tarafından birbirini takip eden aşamalarda geliştirildi. Ölçülerin ana uygulamaları, Lebesgue integralinin temelleri içinde, Andrey Kolmogorov'un belitleştirilmesine ait olasılık teorisinde ve ergodik teoride yer almaktadır. Entegrasyon teorisinde, bir ölçü belirtmek, Öklid uzayının alt kümelerinden daha genel uzaylar üzerindeki integrallerin tanımlamasına izin verir; dahası, Öklid uzayları üzerine Lebesgue ölçümü ile ilgili integral daha geneldir ve selefi Riemann integralinden daha zengin bir teoriye sahiptir. Olasılık teorisi, tüm kümeye 1 büyüklüğünü atayan ölçüleri dikkate alır ve ölçülebilir alt kümeleri olasılıkları ölçü tarafından verilen olaylar olarak kabul eder. Ergodik teori, bir dinamik sistem altında değişmeyen veya doğal olarak ortaya çıkan ölçüleri dikkate alır.

Ayrıca bakınız

Vektör notasyonu

Kaynakça

^ Heath, Thomas Smd. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications.
^ Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, s. 52, ISBN 9780387721774 – Google Books vasıtasıyla, Doğru parçalarının uzunluklarının ortak ölçülemez çiftleri fikri Antik Yunan'da keşfedildi.
^ "Magnitude Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". mathsisfun.com. 5 Şubat 2026 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ağustos 2020.
^ Mendelson, Elliott (2008). Schaum's Outline of Beginning Calculus. McGraw-Hill Professional. s. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.
^ Ahlfors, Lars V. (1953). Complex Analysis. Tokyo: McGraw Hill Kogakusha.
^ Nykamp, Duane. "Magnitude of a vector definition". Math Insight. 12 Aralık 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ağustos 2020.
^ Howard Anton; Chris Rorres (12 Nisan 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1 – Google Books vasıtasıyla.
^ Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know, 2nd, Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
^ Terimler.org sayfasında ölçü kuramı teriminin tanımı. Erişim tarihi: 1 Şubat 2025.
^ Halmos, Paul (1950), Measure theory, Van Nostrand and Co.

[1] Heath, Thomas Smd. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications.

[2] Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, s. 52, ISBN 9780387721774 – Google Books vasıtasıyla, Doğru parçalarının uzunluklarının ortak ölçülemez çiftleri fikri Antik Yunan'da keşfedildi.

[3] "Magnitude Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". mathsisfun.com. 5 Şubat 2026 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ağustos 2020.

[4] Mendelson, Elliott (2008). Schaum's Outline of Beginning Calculus. McGraw-Hill Professional. s. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.

[5] Ahlfors, Lars V. (1953). Complex Analysis. Tokyo: McGraw Hill Kogakusha.

[6] Nykamp, Duane. "Magnitude of a vector definition". Math Insight. 12 Aralık 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ağustos 2020.

[AntonRorres2010-7] Howard Anton; Chris Rorres (12 Nisan 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1 – Google Books vasıtasıyla.

[8] Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know, 2nd, Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5

[9] Terimler.org sayfasında ölçü kuramı teriminin tanımı. Erişim tarihi: 1 Şubat 2025.

[10] Halmos, Paul (1950), Measure theory, Van Nostrand and Co.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]