Apotem

Bir altıgenin apotemi

Apotem, bir düzgün çokgenin merkezinden kenarlarından birinin orta noktasına uzatılan doğru parçasıdır. Çokgenin merkezinden kenarlarından birine indirilen dikme olarak da tanımlanabilir, çizilen bu dikmenin uzunluğunu anlatmak için de kullanılır. Eski Yunanca ἀπό ("uzak") ve θέμα ("yere konmuş") sözcüklerinin bileşimi olan ve genel olarak, çekilmiş bir çizgiyi belirten ἀπόθεμα ("kenara konmuş") sözcüğünden gelir. Çokgenler arasında yalnızca düzgün çokgenlerin apotemi vardır, bundan ötürü bir çokgendeki tüm apotemler birbirine eştir.

Apotemin özellikleri

Apoteminin uzunluğu a, kenar uzunluğu s olan herhangi bir n kenarlı düzgün çokgenin alanını bulmak için aşağıdaki formül kullanılabilir; bu formül, ns = p olduğu için çokgenin alanının apoteminin çevresinin yarısı ile çarpımına eşit olduğunu da belirtir.

$A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.$

Bu formül, bir üçgenin alanının tabanın yarısıyla yüksekliğinin çarpımına eşit olduğu bilgisi ve n kenarlı çokgenin n adet eş ikizkenar üçgene bölünmesiyle türetilebilir; bu durumda çokgenin apotemi, her üçgenin yüksekliği olacaktır. Aşağıdaki formüllerin tümü birbirine eşdeğerdir:

$A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=na^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}$

Düzgün çokgenin apotemi, her zaman iç teğet çemberinin yarıçapıdır. Aynı zamanda, çokgenin herhangi bir kenarı ile merkezi arasındaki en küçük mesafedir.

Bu özellik, dairenin alan formülünü kolayca türetmek için de kullanılabilir çünkü kenar sayısı sonsuza yaklaştıkça, düzgün çokgenin alanı yarıçapı r = a olan iç çemberin alanına yaklaşır.

$A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}$

Apotemin bulunması

Düzgün bir çokgenin apotemini bulmanın türlü yolları vardır.

Kenar uzunluğu s ve çevrel çemberinin yarıçapı R olan n kenarlı düzgün çokgenin apotemi a olmak üzere aşağıdaki formül kullanılabilir:

$a={\frac {s}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}.$

Apotem şu formülle de bulunabilir:

$a={\frac {s}{2}}\tan {\frac {\pi (n-2)}{2n}}.$

Bu formüller, yalnızca çevre uzunluğu p ve kenar sayısı n biliniyorsa da kullanılabilir çünkü s = p/n.

Ayrıca bakınız

• Yarıçap
• Çevrel çember
• Ok (geometri)