AO-GO eşitsizliği

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği (veya daha sık kullanılan adıyla AGO eşitsizliği), cebirin eşitsizlikler alt dalında sıkça kullanılan bir eşitsizliktir.

Eşitsizliğin formu

Klasik Form

AGO eşitsizliğinin en bilinen formu şudur:

$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ pozitif reel sayıları için ${\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}$ ............(1) olur.

Ağırlıklı AGO

Öte yandan bu eşitsizlikte i=1,2,...,n için $a_{i}=x_{i}y_{i}$ konulursa (her şey pozitifliğini koruyor) eşitsizlik

${\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\geq {\sqrt[{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{y_{i}}}}$ .........(2) formunu alır.

İspatlar

Kuvvet Ortalaması^[1]

i=1,2,....,n için $x_{1},...,x_{n}$ pozitif reel sayılar olsun. Bu reel sayılar için ise $K(p)=({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+...+x_{n}^{p}}{n}})^{1/p}$ fonksiyonu tanımlı olsun. Bu fonksiyonun p cinsinden türevinin pozitif olduğu temel düzey türev ile gösterilebilir. O halde $K(p)$ artandır, yani $p,q\in R$ için $p\geq q$ için $K(p)\geq K(q)$ olur ve eşitsizlik p=q durumunda veya dizideki tüm sayılar eşit olduğunda sağlanır.

p=1 için (1) eşitsizliğinin sol tarafı (yani aritmetik ortalama) elde edilir. Öte yandan q=0 için (1) denkleminin sağ tarafı (yani geometrik ortalama) elde edildiğini göstermek için ise ileri düzey kalkülüs teknikleri gerekir. Tüm bunlardan dolayı (1) eşitsizliği ispatlanmış olur ve eşitsizlik sadece $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$ için sağlanır.

Jensen eşitsizliği^[2]

Eşitsizliğin tanımı (sonlu biçim)

f gerçel değerli konveks bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun tanım kümesindeki $x_{1},...,x_{n}$ noktaları ve toplamları bir olan pozitif $a_{i}$ için

$f(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i})$

olur (ve konkav fonksiyonlar için işaret ters döner). Bu eşitsizlik Jensen eşitsizliğidir.

Eşitsizliğin kullanımı

$f(x)=lnx$ fonksiyonunu ele alalım. $f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}<0$ olduğu için f(x) konkavdır, yani işaret ters döner. $a_{i}=1/n$ alınırsa

$ln({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}})\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}ln(x_{i})}{n}}$

eşitsizliği elde edilir. Bir takım manipülasyonla ise (1) eşitsizliği elde edilir.

Kaynakça

^ "AM-GM inequality". 30 Aralık 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi.
^ "Proofs of AM-GM inequality". 6 Mart 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Dış bağlantılar

[1] "AM-GM inequality". 30 Aralık 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi.

[2] "Proofs of AM-GM inequality". 6 Mart 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi.

[1]

[2]