Vieta formülleri: Revizyonlar arasındaki fark

Vikipedi, özgür ansiklopedi
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
İçerik silindi İçerik eklendi
kDeğişiklik özeti yok
Thijs!bot (mesaj | katkılar)
k Bot değişikliği Ekleniyor: eo:Formuloj de Viète Değiştiriliyor: hu:Viète-formulák, ro:Formulele lui Viète
54. satır: 54. satır:
[[de:Satzgruppe von Vieta]]
[[de:Satzgruppe von Vieta]]
[[en:Viète's formulas]]
[[en:Viète's formulas]]
[[it:Formule di Viète]]
[[eo:Formuloj de Viète]]
[[he:נוסחאות ויאטה]]
[[he:נוסחאות ויאטה]]
[[hu:Viète-formula]]
[[hu:Viète-formulák]]
[[ro:Formulele lui Viete]]
[[it:Formule di Viète]]
[[ro:Formulele lui Viète]]
[[ru:Формулы Виета]]
[[ru:Формулы Виета]]
[[sr:Вијетове формуле]]
[[sr:Вијетове формуле]]

Sayfanın 23.18, 11 Haziran 2008 tarihindeki hâli

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleri

Eğer

derecesi olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani sayıları kompleks, ve sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

Anlamı, 'in tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı 'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

şeklinde her yazabiliriz.


İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, denkleminin kökleri ve için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:


( bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, 'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterilebilir.

Ayrıca bakınız

Kaynaklar

  • Erzen, Ömer R. (2008). Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi, 19 sf., Çukurova Üniversitesi, Adana.
  • Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
  • Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.