Bileşke fonksiyon

Bileşke kuvvet, bir cisme uygulanan kuvvetlerin birleşimidir.

Eğer $f$, $X$ kümesinden $Y$ kümesine giden bir fonksiyonsa, $g$ de $Y$ kümesinden $Z$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman $g\circ f$ fonksiyonunu, her $x\in X$ için,

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

kuralıyla tanımlanan $X$ kümesinden $Z$ kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona $g$ ve $f$ fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir. (İngilizcesi "composition").

Demek ki bileşke,

$f:X\longrightarrow Y$ ve $g:Y\longrightarrow Z$

fonksiyonlarından,

$g\circ f:X\longrightarrow Z$

fonksiyonunu üretir.

Dikkat: $g\circ f$ yazılımında $f$ ve $g$'nin sıralamalarına dikkat edin!

İkinci Dikkat: $g$ ve $f$ fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için $f$ fonksiyonunun varış kümesi, $g$ fonksiyonunun kalkış kümesine eşit olmalıdır.

Eğer $f$, $X$ kümesinden $Y$ kümesine, $g$ de $Y$ kümesinden $X$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem $g\circ f:X\longrightarrow X$ fonksiyonundan, hem de $f\circ g:Y\longrightarrow Y$ fonksiyonundan söz edebiliriz.

Bileşke, $X$'ten $X$'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk$(X,\;X)$ kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id$_{X}$, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca Fonk$(X,\;X)$ kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Örnek: $X=Y=Z=R$ (gerçel sayılar kümesi) olsun. $f$ fonksiyonu $f(x)=x^{2}$ ve $g$ fonksiyonu $g(x)=x+1$ olarak tanımlansın. O zaman,

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}$

dir. Ama

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1$

dir. Demek ki

$f\circ g\neq g\circ f$,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- birleşme özelliği vardır:

$X,\,Y,\,Z,\,T$ dört küme olsun.

$f:X\longrightarrow Y$,

$g:Y\longrightarrow Z$,

$h:Z\longrightarrow T$

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz:

$g\circ f:X\longrightarrow Z$,

$h\circ (g\circ f):X\longrightarrow T$,

$h\circ g:Y\longrightarrow T$,

$(h\circ g)\circ f:X\longrightarrow T$.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$

eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. $X$ kümesinden herhangi bir $x$ elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu $x$ elemanında değerlendirelim.

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$

ve

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).$

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)$.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ eşitliği çıkar.